جبر أبي كامل بمعاملات غير ناطقة

لم تقتصر مساهمة أبي كامل شجاع بن أسلم على أن ينتهي حل مسألة إلى جذر. يشرح جنكيز آيدن أن كتابه في الجبر أدخل الكميات غير الناطقة في معاملات المعادلة أيضاً، مع إبقائها في الحلول. هذه خطوة في توسيع ما يستطيع الجبر معالجته، لا اختراع الجبر كله ولا اكتشاف أول طول لا يكتب كسراً من عددين صحيحين ¹.

نسجلها تحسيناً داخل تقليد سابق. وتعرض دراسة ملك دوساي أمثلة على العمل بالجذور، ومنها حاصل ضرب مجموعين فيهما جذر3 وجذر2. قرأنا هذا المثال في الصفحة المصورة من الدراسة الحديثة، لا من مخطوط أبي كامل؛ يجب أن تظل درجة الشهادة ظاهرة للقارئ ².

«المعامل» العدد الذي يضرب المجهول أو قوة من قواه. قد يكون2 أو نصفاً أو، في موضوعنا، مقداراً مثل جذر2. أما «الجذر» فله استعمالان ينبغي التمييز بينهما: جذر تربيعي لعدد، وحل معادلة. قولنا إن المعادلة تقبل حلاً غير ناطق ليس هو قولنا إن أحد معاملاتها غير ناطق. يميز آيدن هذين الموضعين في وصف التحسين ¹.

وفي شرحنا الحديث يمكن أن تكون معادلة ذات معاملات صحيحة مثل x²=2 ذات حل موجب غير ناطق. أما x²+sqrt(2)x=4 ففيها مقدار غير ناطق داخل المعامل نفسه. هذا مثال تعليمي من إعدادنا، لا سطر ننسبه إلى الكتاب. الفرق في بنية المسألة قبل الوصول إلى الجواب، وليس في طول الرمز المطبوع.

يقر أبو كامل بفضل الخوارزمي في الجبر بحسب ترجمة ماكتوتر، وتذكر دراسة آيدن اتصال عمله بالجبر السابق والهندسة الإقليدية. كما تحفظ البطاقة الأقدم للمؤلف إحالات محققي طبعة القاهرة1939 إلى اعترافه بالخوارزمي. لا تبدأ قصته من حساب خالٍ من المجهول أو هندسة لم تعرف الكميات غير الناطقة ^{3 1 4}.

وجود الجذر في الهندسة أقدم من هذا التطبيق الجبري، لكن نقل مقدار هندسي إلى موضع عامل في الحساب يطرح سؤالاً مختلفاً عن رسمه وحده. ولا نرد جميع السوابق إلى شخص واحد، أو نزعم أن كل معرفة يونانية أو عربية وصلت إلى المؤلف بالمسار نفسه.

أخبار حياته قليلة جداً. تذكر ماكتوتر سياقاً مصرياً وتواريخ تقريبية نحو850–930، بينما تتحفظ TDV على أخبار المهنة الحديثة وتستدل بموضعه بعد الخوارزمي وقبل شرح العمراني لكتابه. لذلك لا نؤلف له وظيفة مؤكدة في صناعة السفن أو بلاط بعينه من مجرد قول متأخر ^{3 5}.

تضع البطاقة هذا العمل في سياق نشاط القرن العاشر، لا في يوم اختراع معلوم. لم نقرأ خاتمة مخطوط تحدد تأليفه ولا نحول تاريخ نسخه أو طباعة تحقيقه إلى سنة إنجاز المعادلات. ويبقى تاريخ النشاط التقريبي الموجود في سجل الشخص كما كان، لا نبدله لتسهيل ترتيب الاختراعات. غياب يوم دقيق لا يمنع شرح التحسين الموثق، لكنه يمنع اختلاق دقة زمنية غير موجودة.

تعرّف ترجمة أوكونور وروبرتسون في جامعة سانت أندروز أبا كامل بالاسم رياضياً إسلامياً. هذا تصنيف علمي فردي مسجل، لا استنتاج من اسم عربي أو بلد أو عصر. والسني إطار المتحف المعلن في هذا الوسط العباسي المصري، مع عدم ورود تقليد مخالف في الترجمتين المقروءتين، وليس إثباتاً لمذهب فقهي شخصي لم يسمه المصدر ^{6 5}.

دوره هنا «محسن»؛ أما الخوارزمي فله موضع السلف المسمى. ولا تجعل أسماء الدارسين والمترجمين اللاحقين شركاء في تأليف الأصل. نميز صاحب المساهمة من ناقل النص ومفسره ومحقق طبعة حديثة، لأن جمع هذه الأدوار في كلمة واحدة يضيع تاريخ العمل بدلاً من توضيحه.

تعرض دوساي في66، بصياغة رمزية حديثة، المسألة (x+sqrt(3))(x+sqrt(2))=20. شاهدنا صورتها لأن الاستخراج النصي أسقط صيغاً كثيرة من المقال. لم ننقل سطراً عربياً قديماً ولم نفترض أن الرمزx أو علامة الجذر كانا مرسومين هكذا في الأصل ².

وبتوسيعنا الحديث للطرف الأيسر نحصل على x²+(sqrt(3)+sqrt(2))x+sqrt(6)=20. تظهر كمية غير ناطقة في معاملx، وأخرى في الحد الثابت. ليست هاتان مجرد علامتين تنتظران اختزالاً إلى عددين صحيحين؛ ينبغي أن يستمر الحساب معهما بدقة. التوسيع هنا تحقق تعليمي من المسألة المنشورة، لا اقتباس لطريقة المؤلف أو جواب نقول إن دوساي أعطته.

ويمكن فحص المثال الأبسط الذي وضعناه، x²+sqrt(2)x=4، بإحلالx بجذر2: مربعه2 وحاصل ضربه في جذر2 هو2، فيصير المجموع4. لا يقتضي هذا حساب جميع الحلول أو تعميم القول على كل معادلة من كل درجة. يكفي ليبين أن جذر2 يمكن أن يكون جزءاً من المعامل ومن الحل في مثال واحد.

ولا يجوز جمع الجذور بمجرد جمع ما تحتها: جذر2 مع جذر3 لا يساوي جذر5، لأن تربيع المجموع يضيف الحد 2sqrt(6). كما أن جذر2 في جذر3 يساوي جذر6 في هذه المقادير الموجبة. هذه هويات نتحقق منها بلغة اليوم لتفسير الحساب، لا قائمة قواعد ندعي نسخها من ورقة لم نرها.

تحافظ القراءة على الفرق بين الدقة والتقريب. يمكن استبدال الجذور بأعداد عشرية لإجراء فحص تقريبي، لكن الناتج المقرب ليس هو التعبير الدقيق. لا نطبع أرقام حاسبة حديثة ثم نسميها دقة أبي كامل، ولا نأخذ كل حل جبري بوصفه طولاً موجباً صالحاً لكل مسألة هندسية.

ولقراءة المثال خطوة خطوة نفصل ثلاث عمليات: توزيع الضرب، ثم جمع الحدين اللذين يحتويان المجهول، ثم النظر إلى المعامل الناتج. الحد الثابت جذر6 لا يختفي عند جمع حدود المجهول؛ وإذا نقلناه إلى الطرف الآخر تغيرت إشارته فقط. بهذه الطريقة يستطيع القارئ فحص مساواة كل مرحلة بالأصل دون أن ينسب طريقتنا المدرسية أو رموزنا إلى صفحة مخطوطة. المقصود توضيح معنى المعامل الذي تصفه الدراسات، لا استعادة نص مفقود ².

تربط ماكتوتر وTDV عمل أبي كامل بالكرجي وفيبوناتشي، وتذكر TDV شروحاً وترجمات عبرية ولاتينية. هذا استقبال تاريخي للعمل ترويه الدراسات، لا دعوى أن كل مخطوط سابق أو لاحق فحصناه أو أن كل مسألة انتقلت بحروفها ^{7 8}.

وتفرق TDV بين الشواهد: ترجمة لاتينية للجزأين الأولين، ونص عبري يبدو ناقصاً قياساً بالعربي، وشاهدين عربيين تصف أحدهما بالكمال والآخر بالنقص. هذه أخبار نذكرها من المدخل لا نتائج مطابقة أجريناها بأنفسنا. لا نسوي بين ترجمة مختصرة وكتاب كامل ثم نبني عليهما حكم استقبال واحداً.

يجمع الكتاب تقليداً جبرياً مع هندسة إقليدية. وتصف ماكتوتر أقسامه الثلاثة: المعادلات التربيعية، وتطبيق الجبر على المخمس والمعشر المنتظمين، والمسائل غير المحددة. لا نضم كل ذلك إلى اختراع واحد بعنوان «المعامل غير الناطق»؛ إنما يفسر موقع التحسين في عمل أوسع ^{9 1}.

كما تسجل الدراسة أن القوى الأعلى عبر عنها بالكلمات، لا برموزنا المعاصرة. استعمالناx² واختصارsqrt تيسير تحريري معلن؛ لا يشهد بأن مصطلحات المؤلف أو ترتيب صفحته طابقا دفتر طالب اليوم ¹⁰.

تذكر الدراسات أثر العمل في الجبر اللاحق وفي كتب فيبوناتشي، لكن نقل الأثر العام إلى اعتماد كل صيغة معاصرة يحتاج بحثاً مستقلاً. لا نرسم حافة مباشرة من هذا التحسين إلى كل برنامج جبر رمزي أو كل آلة تصميم. تبقى حقول التابعين المحددين فارغة حتى يتعين ما اعتمد على هذا الجزء بعينه ^{7 11}.

ولا يعني غياب حافة آلية إنكار الاستقبال المروي. فالبيانات والسرد يجيبان عن درجتين مختلفتين من السؤال: هل استقبل مؤلف لاحق الكتاب؟ وهل نستطيع تحديد مساهمة فنية بعينها انتقلت إليه؟ الدقة تقتضي ألا تكون الإجابة الأولى ترخيصاً لاختراع الثانية.

الأثر المباشر هنا توسيع مسائل الحساب والهندسة القابلة للمعالجة، لا خبر موثق عن تغير أجور الناس أو سرعة بناء كل سفينة. وتصف ماكتوتر كتاب مساحة آخر موجهاً للمساحين الحكوميين، بقواعد وأمثلة دون براهين؛ لا ننقل جمهور هذا الكتاب المختلف آلياً إلى جميع أجزاء كتاب الجبر ¹².

يستطيع الزائر اليوم أن يرى فائدة فصل التعريف عن الحساب: هل العدد معامل أم جواب؟ وهل التعبير دقيق أم مقرب؟ هذه فائدة تعليمية مستمدة من شرحنا، لا إحصاء تاريخي لعدد من استعملوا القاعدة أو مال وفرته.

تصف TDV إسهامه بأنه جمع بين طابع الجبر العملي والأساس الهندسي النظري، ووسع حضور غير النواطق. ويظهر هذا أن تقدم الجبر لا يقتصر على اختراع اسم لمجهول أو إضافة مسألة أخرى؛ قد يكون في تغيير أنواع المقادير المسموح بإجراء العمل عليها ⁸.

لكن وصفه خطوة في تاريخ الجبر لا يجعله مؤسس نظرية الحقول الحديثة أو مبرهناً على كل قواعد الأعداد الحقيقية بالصياغة الحالية. تلك مفاهيم وأطر لاحقة لا نضعها في فمه. نقدّر ما تسنده القراءة، لا ما نستطيع كتابته الآن بخمس علامات.

نقول إن أبا كامل وسع جبره إلى معاملات غير ناطقة كما يشرح آيدن. لا نقول إنه اخترع كل الجبر أو أول جذر أو كل عملية على طول هندسي. وتحفظ ماكتوتر اعترافه بالخوارزمي؛ التقدير لا يحتاج محو السابق كي يكبر اللاحق ^{1 3}.

وحين تستعمل الدراسات كلمة «أول» في قوة أعلى أو مسألة غير محددة، فذلك ليس حكماً نقلناه إلى كل موضوع هذه الصفحة. لا تكفي قراءة ثلاثة أوصاف لحصر جميع النصوص السابقة، ولا تصبح علامة جذر حديثة برهاناً على أسبقية رمزية قديمة.

يمكن تدريب الطلاب على الفرق بين sqrt(2)+sqrt(3) وsqrt(5)، ثم على التوسيع الذي يولد معامل مجموع الجذرين. لا يحتاج الدرس إلى تقديم الجبر القديم كأنه نسخة ناقصة من حاسوب؛ له لغته وأهدافه وطرائق استدلاله التي تصفها الدراسات ¹.

الرسم المصاحب مثلث قائم حديث أطلقه TheOtherJesse للملك العام في2007. يشرح الأضلاع والزاوية فقط، وليس رسماً لأبي كامل ولا مثالاً متساوي الساقين نفترض أطواله1 و1. لا نستخرج من شكله برهاناً تاريخياً على معاملات كتاب الجبر ¹³.

المصادر المباشرة لهذه الجولة ترجمتا ماكتوتر وTDV وصفحات مختارة من دوساي، مع معاينة صورة66. أما نسخ الجبر العربية والعبرية واللاتينية والطبعات التي يسميها المدخل فلم تقرأ هنا. نذكر وجودها كما يرويه المصدر ولا نختلق اقتباساً أو رقم ورقة ^{1 2}.

ويظل حسابنا الحديث قابلاً للفحص مستقلاً عن تلك النسخ. صحة توسع رمزي نتحقق منه اليوم لا تثبت بذاتها أن كل رقم مطبوع في دراسة حديثة نجا من الخطأ أو أنه نسخة حرفية من شاهد قديم.

تتيح القصة عرض الرياضيات كحوار بين حساب وهندسة، لا كمسابقة أسماء فقط. يروي المصدر اعتراف أبي كامل بالسابق ويشرح إضافاته، فتظهر الاستمرارية والتغيير معاً. وهذه أقدر على إيضاح المعرفة من عنوان يزعم أنه بدأ كل شيء ^{3 11}.

كما تذكرنا الصيغ التي سقطت من استخراج المقال بأن البحث الرقمي يحتاج النظر إلى الصفحة عند اللزوم. الفراغ في النص المستخرج ليس دليلاً على خلو المصدر من معادلة، ولا إذناً لملئه بتخمين.

ارسم مربعاً واكتب على ضلعه «جذر2»، ثم على مساحته2. لا يلزم قص الورق أو قياس طول دقيق؛ هذه بطاقات رمزية. جذر2 ليس نصف2، وهو مقدار مربعُه2.

جرب الآن بطاقتين عليهما «جذر2» و«جذر3»: جمع البطاقتين لا يعني جمع العددين داخل الجذر. ولمن يعرف التوسيع، افحص مربع مجموعهما لتجد حد الضرب الإضافي. الأمثلة أنشطة حديثة بالقلم، لا إعادة إنشاء مخطوط ولا ادعاء أن شكل المثلث المرافق هو هذا المربع.

• أوكونور وروبرتسون، ترجمة أبي كامل في ماكتوتر، النص الفعلي الكامل ³.
• جنكيز آيدن، TDV1994،10:172–174، النص الرئيس وبيانات المؤلف الفعلية ¹.
• ملك دوساي1990، الصفحات57–60 و66–68 فقط، مع فحص صورة66 ¹⁴.
• المصدر السابق المحفوظ في بطاقة الشخص، لا قراءة جديدة له في هذه الجولة ⁴.
• بيانات المثلث الحديث ¹³.