علم الجبر والمقابلة (الجبر علماً مستقلاً عند الخوارزمي)

علم الجبر والمقابلة صناعة يُستخرج بها العدد المجهول من الأعداد المعلومة بمعادلة بينها. وضعه محمد بن موسى الخوارزمي في بغداد في عهد الخليفة المأمون في كتاب مختصر هو الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة، لما يلزم الناس في مواريثهم ووصاياهم وتجاراتهم ومساحة أرضيهم ¹. ورَدّ فيه كل مسألة إلى ثلاثة أجناس من الأعداد وستة ضروب من المعادلات، لكل ضرب منها قاعدة وبرهان هندسي ². ويعدّه ابن خلدون أول من كتب في هذا الفن ³، وما زال العلم يحمل اسم كتابه في لغات العالم ⁴.

يجعل ابن خلدون الجبر والمقابلة من فروع علم العدد: صناعة يُستخرج بها العدد المجهول من قِبل المعلوم المفروض إذا كان بينهما نسبة تقتضي ذلك. وأجناسه العدد و«الشيء» وهو الجذر، و«المال» وهو المربع، والمعادلات بينها تنتهي إلى ست مسائل ³.

وكذلك يبدأ الخوارزمي كتابه، فيقول إن الأعداد التي يُحتاج إليها في حساب الجبر والمقابلة ثلاثة ضروب: جذور وأموال وعدد مفرد لا يُنسب إلى جذر ولا إلى مال ⁵. ومن عمليتين أخذ هذا العلم اسمه: الجبر، وهو أن يُزال المستثنى من أحد الطرفين بزيادته على الطرفين معاً، والمقابلة، وهي إسقاط الأجناس المتماثلة من الطرفين. وتضيف موسوعة TDV إليهما الردّ، وهو قسمة الطرفين على عدد الأموال، والإكمال، وهو إتمام المال حتى يصير مالاً تاماً ⁶. وفي المسائل المحلولة في الكتاب تتكرر عملية الجبر: يُجبر المقدار الذي فيه «إلا عشرة أشياء» وتُزاد الأشياء العشرة على الطرف الآخر ⁷.

حلّ الناس المعادلات قبل الخوارزمي بزمن طويل، وبهذا التاريخ يفتتح محققا طبعة القاهرة مقدمتهما. ففي بردية أحمس المصرية، وهي من نحو سنة 1700 قبل الميلاد وأقدم كتاب مدرسي باقٍ، معادلة من الدرجة الأولى في مجهول واحد له علامة خاصة ⁸. وصنع البابليون جداول للمربعات والمكعبات، وعند إقليدس مسائل هي في حقيقتها حلول هندسية لمعادلات الدرجة الثانية ⁹. وعند هيرون السكندري أول حل تحليلي يمكن الوثوق به ¹⁰، وكان ديوفانتوس يعرف حل المعادلات التربيعية ذات المعاملات الموجبة، لكنه لم يرتّب أنواعها كما رتّبها الخوارزمي ¹¹.

وفي الهند لا بد أن آريابهاتا عرف حل المعادلة التربيعية، وأعطى براهماغوبتا في القرن السابع قاعدة لحلها بالكلمات، وأعطى ماهافيرا، وهو معاصر للخوارزمي، قواعد أيضاً ¹². وتذكر موسوعة TDV أن طريقة الخطأين وطريقة العمل بالعكس وبعض أنواع المسائل اللفظية دخلت الجبر في الإسلام من كتب الهنود، وأن قسطا بن لوقا ترجم كتاب الأرثماطيقي لديوفانتوس إلى العربية بعنوان «صناعة الجبر» ⁶.

في أوائل القرن التاسع الميلادي جمع المأمون العلماء في بغداد. وينقل محققا طبعة القاهرة عن «الفهرست» لـابن النديم أن الخوارزمي كان منقطعاً إلى خزانة الحكمة للمأمون، وأنه من أصحاب علوم الهيئة، وصاحب الزيجين المعروفين بالسند هند ¹³.

ويحمد الخوارزمي الله في مقدمة كتابه ويصلي على النبي ﷺ محمد، ثم يذكر ما دعاه إلى التأليف: أن الإمام المأمون أمير المؤمنين كان محباً للعلم، مقرّباً لأهله، معيناً لهم على إيضاح ما كان مستبهماً، فشجعه ذلك على أن يؤلف كتاباً مختصراً في حساب الجبر والمقابلة ¹⁴. وقصره على لطيف الحساب وجليله، وعلى ما يلزم الناس من الحاجة إليه في مواريثهم ووصاياهم وفي مقاسمتهم وأحكامهم وتجاراتهم وفي جميع ما يتعاملون به بينهم، من مساحة الأرضين وكَري الأنهار والهندسة وغير ذلك ⁵. ولا يذكر الكتاب سنة تأليفه، لكن المأمون حكم من سنة 813 إلى سنة 833 للميلاد ¹³، فقد كُتب في تلك السنين.

وبقيت منه نسخة في مكتبة بودلي في أكسفورد، كُتبت في القاهرة في المحرم سنة 743 للهجرة. ونشرها فريدريك روزن مع ترجمة إنجليزية في لندن سنة 1831، وعنها أُعدّت طبعة القاهرة سنة 1939 ¹⁵.

أبو عبد الله، أو أبو جعفر، محمد بن موسى الخوارزمي عالم فلك ورياضيات في بلاط المأمون في بغداد. ويصفه محققا طبعة القاهرة بأنه كان متضلعاً في الحساب والجغرافيا والفلك، وبأنه يُعدّ بحق واضع علم الجبر ¹⁶. ويكتب في مقدمة كتابه كاتباً مسلماً: يحمد الله، ويصلي على النبي وعلى من قبله من الأنبياء، ويسمّي المأمون الإمام أمير المؤمنين ¹⁴.

يذكر الخوارزمي أولاً ثلاثة ضروب بسيطة يعدل فيها جنسٌ جنساً: أموال تعدل جذوراً، وأموال تعدل عدداً، وجذور تعدل عدداً. ثم يذكر ثلاثة ضروب مقترنة: أموال وجذور تعدل عدداً، وأموال وعدد تعدل جذوراً، وجذور وعدد تعدل أموالاً ¹⁷.

وأشهر أمثلته «مال وعشرة أجذاره يعدل تسعة وثلاثين درهماً». وقاعدته أن تنصّف الأجذار فتكون خمسة، فتضربها في مثلها فتكون خمسة وعشرين، فتزيدها على التسعة والثلاثين فتكون أربعة وستين، فتأخذ جذرها وهو ثمانية، فتنقص منه نصف الأجذار وهو خمسة فيبقى ثلاثة، وهو جذر المال، والمال تسعة ¹⁸. ثم يبرهن على القاعدة بالرسم: سطح مربع هو المال، وعلى جوانبه سطوح هي الأجذار العشرة، ويبقى لتمام السطح الأعظم مربع خمسة في خمسة، وذلك خمسة وعشرون، فيصير السطح كله أربعة وستين وضلعه ثمانية ¹⁹.

ويذكر أيضاً الحالة التي لا حل لها: إذا كان مربع نصف الأجذار أقل من العدد المقرون بالمال «فالمسألة مستحيلة». ويضيف المحققان أن هذا الاسم بقي بين علماء الرياضيات حتى أواخر القرن الثامن عشر، حين بدأ البحث في الكميات التخيلية ²⁰. وكان جبره كله بالكلمات بلا رموز، ولا يقبل إلا الجذور الموجبة ⁶. ويختم النظرية بقاعدة الكتاب كله: كل ما يُعمل به من حساب الجبر والمقابلة لا بد أن يخرج إلى أحد الأبواب الستة ²¹.

دُرس الكتاب وشُرح وبُني عليه في أنحاء العالم الإسلامي. فيذكر «الفهرست» ثلاثة رجال على الأقل شرحوه ²²، ويقول ابن خلدون إن كثيراً من أهل الأندلس شرحوه شروحاً حسنة، ومن أحسنها شرح القرشي ²³. وترجمه روبرت أوف تشستر إلى اللاتينية، ونشر ل. ك. كاربنسكي ترجمة إنجليزية لهذه الترجمة اللاتينية سنة 1915 ¹⁵.

استند جبر الخوارزمي إلى تاريخ طويل في حل المعادلات: معادلات الدرجة الأولى في بردية أحمس، وجداول البابليين، والحلول الهندسية والتحليلية عند اليونان، والقواعد اللفظية عند الهنود ²⁴. وتذكر موسوعة TDV أثر الهنود في طرقه ومسائله اللفظية ⁶. وما أضافه الخوارزمي هو الترتيب: ثلاثة أجناس، وستة ضروب، ولكل ضرب قاعدة وبرهان.

يذكر أبو كامل شجاع بن أسلم، نحو سنة 925 للميلاد، الخوارزميَّ صراحةً بين مراجعه ¹⁶. ويجعله ابن خلدون التالي بعد الخوارزمي ³، وتذكر موسوعة TDV أنه أسّس الجبر على هندسة إقليدس، واستعمل الأعداد الصمّاء، وحلّ المسائل الهندسية بالجبر. ثم جعل الكرجي الجبر حسابياً وحرّره من الهندسة، وبحث في مفكوك (س + 1) مرفوعاً إلى القوة ن. وكتب تلميذه في المنهج السموأل المغربي الأعداد والمقادير بالحروف بأسلوب مجرد. وصنع عمر الخيام لمعادلات الدرجة الثالثة ما صنعه الخوارزمي لمعادلات الدرجتين الأولى والثانية، فصنّفها في ثلاثة عشر نوعاً وحلّها بالقطوع المخروطية ⁶. ويضيف محققا طبعة القاهرة أن الخيام يقتبس من ابن موسى دون حاجة إلى ذكره ¹⁶. وبلغ ابنَ خلدون أن بعض أئمة التعاليم من أهل المشرق أنهى المعادلات إلى أكثر من الضروب الستة، فبلغت فوق العشرين، مع براهين هندسية ²⁵.

كُتب الكتاب لحاجات الناس اليومية، فيقول الخوارزمي إنه للمواريث والوصايا والمقاسمة والتجارات ومساحة الأرضين وكري الأنهار ⁵. وفي الكتاب نفسه «كتاب الوصايا»، يبدأ عند الصفحة 83 من النسخة المصورة، ويطبّق قواعده على أنصبة التركات والوصايا ²⁶.

صار حل المسائل العددية علماً له أجناسه وأبوابه وبراهينه، فكل مسألة تُردّ بالجبر والمقابلة إلى أحد الضروب الستة ²¹. ويقول محققا طبعة القاهرة إن معادلاته، مثل «مال وعشرة أجذار تعدل تسعة وثلاثين»، تكررت في جميع المؤلفات الجبرية منذ عصره إلى أوائل العصر الحديث، وإن بعضها ما زال يرد في كتب الجبر إلى اليوم ¹⁶.

يسجل المتحف عمل الخوارزمي تطويراً: فهو لم يخترع حل المعادلات، وهو أقدم منه، لكنه أول من يُعرف أنه جعله علماً مستقلاً.

الرأي السني (ابن خلدون). يقول ابن خلدون إن أول من كتب في هذا الفن أبو عبد الله الخوارزمي، وبعده أبو كامل شجاع بن أسلم. ويعدّ كتاب الخوارزمي في المسائل الست من أحسن ما وُضع فيه، ويذكر أن كثيراً من أهل الأندلس شرحوه ²³.

الرأي الأكاديمي (TDV). تذكر موسوعة TDV أن المؤرخين متفقون في الجملة على أن الجبر صار علماً مستقلاً مع الخوارزمي، وأن من جاء بعده من الرياضيين كسنان بن الفتح أقرّوا بأوليته. وكان المخالف الوحيد في زمنه أبو برزة، الذي ادّعى الأولية لجده عبد الحميد بن واسع بن ترك، فردّ عليه أبو كامل ردّاً شديداً. وتعرض الموسوعة أيضاً أسباب شك بعض المحدثين في أن الكتاب كان الأول: أنه يصف نفسه بالمختصر، وأن الخوارزمي لا يدّعي الأولية، وأن مصطلحاته ناضجة، وأنه كان في الموضوع كتاب لابن ترك وكتاب مفقود لسند بن علي ⁶.

ويتفق الرأيان على أن كتابه أقدم ما بقي من كتب تعرض الجبر علماً قائماً بنفسه.

الجبر اليوم فرع أساسي من الرياضيات يُدرَّس في المدارس، ويكتب المعادلات بالرموز. أما جبر الخوارزمي فكان بالكلمات وحدها، ولا يقبل إلا الجذور الموجبة، ثم بدأ السموأل يرمز للأعداد والمقادير بالحروف ⁶. واسم هذا العلم في جميع لغات العالم مشتق من كلمة «الجبر» التي جعلها الخوارزمي اسماً لكتابه، ومن اسمه هو جاءت الكلمة اللاتينية «ألغوريزموس» والإنجليزية «ألغوريثم» ⁴.

بقي الكتاب في مخطوط في مكتبة بودلي في أكسفورد، نُسخ في القاهرة في المحرم سنة 743 للهجرة ¹⁵. وتُظهر الصورة في هذه الصفحة صفحتين من مخطوط للكتاب في مكتبة بودلي، فيهما براهينه مرسومة مربعاتٍ بالحبر الأحمر ²⁷.

دخل اسم الخوارزمي واسم كتابه لغات العالم. فمن المسلمين يعدّه ابن خلدون أول من كتب في الجبر، ويذكر زكريا القزويني أنه أول من نقل علم الجبر إلى المسلمين. وفي الإنجليزية صار اسمه «ألغوريثم»، أي الطريقة الموضوعة لحل المسائل، واستعمل الشاعر تشوسر كلمة «أوغرم» للصفر. وكانت الأرقام تُسمّى باللاتينية «ألغوريزموس» حتى أوائل القرن الثامن عشر، والكلمة الإسبانية للرقم هي «غواريزمو». وصار عنوان كتابه «ألجبرا» ⁴.

قبل نحو ألف ومئتي سنة كتب عالم في بغداد اسمه الخوارزمي كتاباً يعلّم الناس كيف يجدون عدداً لا يعرفونه، ليقسموا المواريث ويقيسوا الأرض ويحسبوا التجارة. فرتّب المسائل في ستة أنواع، وشرح كل نوع برسوم من المربعات. ومن اسم كتابه، «الجبر»، جاءت كلمة «ألجبرا» التي يتعلمها التلاميذ في كل مكان من العالم ^{28 4}.

• محمد بن موسى الخوارزمي، كتاب الجبر والمقابلة، تحقيق علي مصطفى مشرفة ومحمد مرسي أحمد، القاهرة 1939: مقدمة المحققين، الصفحات المصورة 13–26؛ مقدمة المؤلف والمتن، الصفحات المصورة 29–43 و51–53. ²⁹
• عبد الرحمن بن خلدون، المقدمة، ص 495–496، فصل «الجبر والمقابلة». ²³
• إحسان فضل أوغلو، «CEBİR»، موسوعة TDV الإسلامية، المجلد 7 (1993)، ص 195–201، النسخة الإلكترونية. ⁶
• ويكيميديا كومنز، «Bodleian MS. Huntington 214 roll332 frame36.jpg»، ملك عام، مكتبات بودلي. ²⁷