الکرجی کا کثیر رکنی حساب

ہم اعداد کو جمع اور ضرب دے سکتے ہیں، لیکن جب کچھ مقداریں نامعلوم ہوں تو حساب کیسے ہوگا؟ ابو بکر الکرجی نے گیارہویں صدی کے ابتدائی بغداد میں قوتوں اور مرکب عبارتوں کو اعداد جیسے منظم حسابی عملیات کا موضوع بنایا ^{1 2}۔ یہ پہلے سے موجود الجبرا کی ترقی تھی، الجبرا کی یکسر نئی پیدائش یا ہمارے موجودہ حروف اور قوت کے رموز کی ایجاد نہیں ¹۔ کارنامے کو سمجھنے میں ایک کارآمد تاریخی طریقے اور مکمل جدید نظریے کا فرق بھی شامل ہے ¹۔

اس کام میں نامعلوم مقدار، اس کا مربع، مکعب اور ان کے مقلوب جیسے مفرد حدود، پھر متعدد حدود کے مجموعے سے بننے والی مقداریں شامل ہیں ¹۔ میک ٹیوٹر انہیں مرکب مقداریں کہتا اور ان کا جمع، تفریق اور ضرب بیان کرتا ہے، جبکہ تقسیم کو زیادہ محدود بتاتا ہے ¹۔ «کثیر رکنی حساب» اس کام کے ایک حصے کا ہمارا جدید توضیحی نام ہے، یہ دعویٰ نہیں کہ مصنف نے آج کی تعریفیں یا رموز استعمال کیے ¹۔ مقلوبات بھی زیر بحث تھے، اس لیے ہمارا عنوان ان کی تاریخی تقسیم کی تمام سرحدوں کا لفظی بدل نہیں ¹۔

خوارزمی اور ان کے بعد کے جبریوں نے مساوات حل کرنے کی روایت قائم کی تھی، جبکہ دیوفنطس کے حسابی مسائل ایک اور ماخذ تھے جنہیں کرجی نے پڑھا اور آگے بڑھایا ¹۔ میک ٹیوٹر نئی سمت کو دیوفنطسی حساب اور عربی الجبرا کے تصورات کے ملاپ سے سمجھاتا ہے، ان میں سے کسی ورثے کے ختم ہونے سے نہیں ¹۔ جذر، مربع اور مکعب کے نام یکسر نئے نہیں تھے؛ یہاں نمایاں ترقی نامعلوم کی یکے بعد دیگرے قوتوں پر منظم حساب ہے ¹۔ پہلے کسی مساوات کا حل اور اس میں آنے والی عبارتوں پر زیادہ وسیع حساب دو متعلق مگر الگ کامیابیاں ہیں۔

سوانح کرجی کی اہم ریاضیاتی کتابوں کو بغداد میں رکھتی ہے، اور ٹی ڈی وی «الفخری» کو بویہی ماحول میں فخر الملک کی سرپرستی سے جوڑتا ہے ^{1 2}۔ یہ عباسی دنیا کے اندر سیاسی سرپرستی کی تفصیل ہے، مصنف کے ذاتی مذہبی مکتب کی شہادت نہیں ²۔ ووپکے کا تاریخی دیباچہ مصنف اور سرپرست کی شناخت اور نسخے کی مشکلات بیان کرتا ہے، یوں انیسویں صدی کی تحقیق کا بھی ریکارڈ بنتا ہے ³۔ ہم صدی کی سطح کی تاریخ رکھتے ہیں؛1853 کی اشاعت یا مجوزہ عمر طریقے کی تصنیف کا ٹھیک دن نہیں بتاتی۔

ماخذ «الکرجی» اور «الکرخی» دونوں نسبتیں بیان کرتے ہیں: پہلی کرج، دوسری بغداد کے کرخ کی طرف اشارہ کرتی ہے؛ میک ٹیوٹر خاندان کے اصل یا عین جائے پیدائش کو قطعی نہیں بناتا ¹۔ مسلم شناخت کی بنیاد نام سے زیادہ واضح ہے: عطائی آشتیانی اور سمنز نام لے کر انہیں مسلمان ریاضی دان اور انجینئر کہتے ہیں ⁴۔ سنی فریم الگ طور پر عباسی و بغدادی ماحول کے لیے متحف کا واضح بنیادی مفروضہ ہے، ذاتی اقرار یا بویہی سرپرست سے اخذ کردہ مسلک نہیں؛ پڑھی گئی سوانح کسی مخالف ذاتی وابستگی کا نام نہیں لیتیں ^{2 1}۔ یہاں ان کا فنی کردار بہتری لانے والے کا ہے، سابقین کا حصہ برقرار رہتا ہے ¹۔

آغاز ایک مقدار کی یکے بعد دیگرے قوتوں کو الگ پہچاننے سے ہوتا ہے: نامعلوم، مربع، مکعب اور مزید قوتیں؛ سوانح ان کے مقلوب بھی شامل کرتی ہے ¹۔ ضرب کے لیے حاصل کی قوت متعین کرنے کا قاعدہ چاہیے، ہر بار الگ ہندسی شکل نہیں ¹۔ جدید تدریسی رموز میں x² کو x³ سے ضرب دیں تو x⁵ بنتا ہے؛ یہ ہماری وضاحت ہے، مخطوطے کی نقل نہیں ¹۔ میک ٹیوٹر بتاتا ہے کہ وہ قوتوں کے حاصل ضرب کے قانون کے قریب پہنچے، مگر x⁰=1 کی تعریف نہیں دی، اس لیے مکمل جدید صورت ان سے منسوب نہیں کی جاتی ¹۔

پھر مرکب عبارتیں آتی ہیں: جمع و تفریق میں حدود کی قسم کا لحاظ اور ضرب میں حدود کو باہم ضرب دے کر ہم جنس نتائج کا مجموعہ لیا جاتا ہے ¹۔ ہماری جدید مثال (x+2)(x+3) پہلے x²+3x+2x+6 اور پھر x²+5x+6 دیتی ہے۔ x=2 رکھنے سے عددی جانچ ہوتی ہے: چار ضرب پانچ بیس ہے، اور چار جمع دس جمع چھ بھی بیس۔ یہ ہمارے توضیحی اعداد اور رموز ہیں، تاریخی کتاب سے منقول مثال کا دعویٰ نہیں ¹۔

قیمت رکھنا حسابی غلطی پکڑ سکتا ہے، لیکن ایک قیمت پر دونوں طرف اتفاق ہر قیمت کے لیے قاعدہ ثابت نہیں کرتا۔ ہم عمل کرنے، مثال جانچنے اور عمومی قاعدے کی دلیل دینے میں فرق رکھتے ہیں۔ میک ٹیوٹر میں کرجی کے براهین پر مؤرخین کا اختلاف ایک درست عددی مثال سے حل نہیں ہوجاتا ¹۔ قاری دوسری قیمت سے مشق کرسکتا ہے، مگر مشق کو مصنف کے متن کی تاریخی شہادت یا متحف کے ہر مسئلہ الگ جانچنے کا دعویٰ نہیں بنانا چاہیے۔

تمام عملیات یکساں عمومی نہ تھے۔ میک ٹیوٹر مرکب مقدار کو مفرد حد سے تقسیم کرنا بیان کرتا ہے، ہر کثیر رکنی کو ہر دوسری کثیر رکنی سے تقسیم کرنے کا طریقہ نہیں ¹۔ مرکب عبارت کا جذر نکالنے کے بیان کردہ قاعدے میں مثبت معاملات کی شرط تھی؛ یہ تمام جدید مسائل جذر کا حل نہیں ¹۔ مساوات کے حل کی بھی حد تھی: سوانح کراسلی کا فرق نقل کرتی ہے کہ دو درجی اور ان میں بدل سکنے والے اعلیٰ درجے کے مسائل، ہر اعلیٰ درجے کے عمومی حل کے برابر نہیں ¹۔

قوتیں مجموعے کی توسیع بھی سمجھاتی ہیں۔ سوانح «الفخری» میں مکعب، «البدیع» میں مکعب اور چوتھی قوت کی توسیع، اور سموأل کے ذریعے منتقل معاملات کی تعمیر بیان کرتی ہے ¹۔ بعد کی شہادت اہم ہے مگر اس کا مطلب نہیں کہ ہر عبارت یہاں کرجی کے اپنے متن میں پڑھی گئی ¹۔ رنگین تصویر کے منفی حدود اور جدید رموز صرف تقسیمی ضرب سمجھاتے ہیں؛ وہ تاریخی مصنف کے انہی رموز یا معاملات کے ہر جدید رواج کے استعمال کا ثبوت نہیں ⁵۔

سموأل کرجی کا کام پڑھنے اور آگے بڑھانے کی نام زد مثال ہے، ہر مدرسے اور ملک تک پہنچنے کا مکمل نقشہ نہیں ¹۔ ٹی ڈی وی کتابیں، طبعات اور مطالعات گنواتا ہے، جس سے بعد کی متنی تحقیق کے ذریعے بھی اس ورثے کا پہنچنا سامنے آتا ہے ²۔ یہاں پڑھے ماخذ قاریوں کی مردم شماری یا شہروں کے درمیان کسی قاعدے کے پہنچنے کی رفتار نہیں بتاتے۔ آج دستیاب مطبوعہ کتاب تصنیف سے مسلسل تدریس کا ثبوت نہیں، اور ایک ثابت بعد کا قاری ہر جدید نصاب تک براہ راست راستہ ثابت نہیں کرتا۔

میک ٹیوٹر کے تاریخی بیان میں خوارزمی کا الجبرا اور دیوفنطس کا حساب دو مختلف علمی وسائل ہیں جو اس ترقی میں ملتے ہیں ¹۔ یہ بیان کرجی کو محض دیوفنطس کا ناقل نہیں بناتا، بلکہ تعمیم اور زیادہ وسیع اطلاق کے طریقوں کی کوشش نمایاں کرتا ہے ¹۔ دوسری طرف، ٹی ڈی وی کے مطابق «الفخری» میں ہندسی براهین باقی تھے؛ پہلے ریاضیاتی طریقے بے معنی یا ناپید نہیں ہوئے ²۔ تعلقاتی خاکہ ان علمی وسائل کو دکھاتا ہے، کسی درس گاہ کی بازتعمیر یا مختلف صدیوں کے علما کی ذاتی ملاقات کا دعویٰ نہیں کرتا۔

سوانح اس کام کو سموأل کی بعد کی ترقی سے جوڑتی اور ان کی شہادت سے توسیع کے معاملات کی مرحلہ وار تعمیر بیان کرتی ہے ¹۔ وہ کرجی کے ایک حالت سے اگلی حالت تک جانے اور عمل جاری رہ سکنے کے بیان کو بھی پیش کرتی ہے، مگر اسے سخت جدید صورت کے ریاضیاتی استقراء سے الگ رکھتی ہے ¹۔ ایک مثال متواتر مکعبوں کے مجموعے اور متعلقہ اعداد کے مجموعے کے مربع کا رشتہ ہے، جسے عددی حالت میں مکرر دلیل سے دکھایا گیا ¹۔ یہ حساب کی کہانی کا حصہ ہے، ہر معاملات کے مثلث یا دوحدی قضیے کی عالمی اولیت کا الگ دعویٰ نہیں۔

سب سے قریب ثابت اثر ریاضیاتی عمل کے اندر ہے: نامعلوم عبارتیں متواتر حساب کا موضوع بن جاتی ہیں، ان کی عددی قیمت معلوم ہونے کا انتظار لازم نہیں رہتا ¹۔ جبری تصانیف کے ساتھ ٹی ڈی وی «الکافی» اور پانی سے متعلق تحریر بیان کرتا ہے؛ میک ٹیوٹر پیمائش اور وزن کے مباحث بھی بتاتا ہے ^{2 1}۔ مختلف دل چسپیاں یہ ثابت نہیں کرتیں کہ کسی مخصوص تاجر یا کنواں کھودنے والے نے یہی ضرب کا طریقہ استعمال کیا۔ روزمرہ کی آسان مثال اور اس استعمال کا تاریخی ریکارڈ الگ چیزیں ہیں۔

میک ٹیوٹر کے مطابق ووپکے اور رشدی راشد کی تعبیرات جبری عملیات کے ہندسی تمثیل پر کم انحصار کو نمایاں اور مستقل جبری حساب کی سمت اہم قدم سمجھتی ہیں ¹۔ اسی سوانح میں کراسلی کی تعبیر عددی مثالوں، برہان کی حدود اور مساوات میں باقی اقلیدسی قضیوں پر زور دیتی ہے ¹۔ ٹی ڈی وی بھی «الفخری» میں ہندسی ثبوت بتاتا ہے ²۔ ہم ان تعبیرات کو پیش کرتے ہیں، «ہندسہ ختم کردیا» کے نعرے سے فیصلہ نہیں کرتے؛ نئے عملی انتظام اور پرانی توجیہات ایک کام میں ساتھ رہ سکتے ہیں۔

محدود دعویٰ پہلے الجبرا کے اندر کرجی کی قوتوں اور مرکب عبارتوں پر حساب کی ترقی کا ہے، نامعلوم کی پہلی انسانی ضرب یا ہر جدید جبری اوزار کی تصنیف کا نہیں ¹۔ سابقین «بہتری» کی درجہ بندی سمجھاتے ہیں، جبکہ منظم تعبیرات ہندسہ سے آزادی کی مقدار پر مؤرخین کے اختلاف محفوظ رکھتی ہیں ^{1 2}۔ کسی باقی تصنیف میں ظہور خود بخود تمام روایات پر مطلق اولیت نہیں بنتا۔ تاریخی اصطلاح «algebraic calculus» بھی تفاضلی و تکاملی حساب کی ایجاد نہیں، جس کا مفہوم آج لفظ calculus سے لیا جاسکتا ہے ¹۔

حاصل ضرب کی توسیع کا موجودہ سبق اصول سمجھا سکتا ہے، لیکن مشابہت کسی خاص درسی کتاب یا علامتی پروگرام تک براہ راست منتقلی ثابت نہیں کرتی ¹۔ Min666645 کی2014 کی تصویر اس لیے لی گئی کہ حدود کی ضرب اور ہم جنس جمع دکھاتی ہے؛ مصور کا نام، CC BY-SA3.0 اجازت اور غیر ترمیم شدہ تصویر ساتھ ہیں ⁶۔ یہ حال سے تاریخی سوال کی طرف تدریسی کھڑکی ہے، آثار قدیمہ کی شے نہیں۔ حروف، قوتوں کے رموز، رنگ اور منفی حدود اسی جدید مثال کے ہیں؛ ان سے کرجی کے مخطوطے کی صورت ثابت نہیں ہوسکتی۔

شواہد متنی ہیں: ٹی ڈی وی «الفخری»، «البدیع» اور دوسری تصانیف، ان کی طبعات اور تحقیق بیان کرتا ہے ²۔ ووپکے کا دیباچہ شکستہ مخطوطاتی مواد اور اصلاح بتاتا ہے، یاد دلاتا ہے کہ ایڈیشن میں مرتب کی وساطت ہوتی ہے ⁷۔ ہم نے1853 کی اشاعت کے اصل مطبوعہ صفحات3–4 ہی پڑھے؛ قاری کا PA1 اصل صفحہ نمبر نہیں۔ پورا «الفخری»، سموأل کا اصل یا میک ٹیوٹر کے تمام منقول مطالعات یہاں الگ نہیں پڑھے گئے۔ تفصیل پڑھے گئے ماخذ سے منسوب رہتی ہے؛ جدید تصویر مخطوطاتی شہادت کی جگہ نہیں رکھی گئی۔

مصنف کا نام بھی تاریخی غیر یقینی دکھاتا ہے: سوانح «الکرجی» اور «الکرخی» کی مختلف قرأتیں اور نتائج بیان کرتی ہے، مانوس نسبت کو قطعی جائے پیدائش نہیں بناتی ¹۔ ریاضیاتی و انجینئرنگ تصانیف ایک مصنف کو متعدد شعبوں میں دکھاتی ہیں، «ہر شے کے موجد» کے لقب کی ضرورت کے بغیر ²۔ متحفی بیان میں قدرشناسی اور علم کی حدود ساتھ رہ سکتی ہیں۔ نام زد متون، مثالیں اور تعبیرات قاری کو فکری اوزار کی ترقی دکھاتی ہیں، ایسی قومی دوڑ نہیں جو سابقین مٹا دے یا مؤرخین کے درمیان آخری فیصلہ نافذ کرے۔

ایک تھیلی میں نامعلوم گنتی کے دانے سوچیں۔ ہمیں «تھیلی اور دو» کو «تھیلی اور تین» سے ضرب دینا ہے۔ ہماری جدید مثال نامعلوم کو x کہتی ہے۔ ہر حصہ ہر دوسرے حصے سے ملتا ہے، پھر ہم جنس حصے جمع ہوتے ہیں۔ x کی قیمت معلوم ہونے سے پہلے بھی حساب ترتیب دے سکتے ہیں۔ یہ سوانح کے نامعلوم مقداروں پر حساب کے عمومی خیال کی وضاحت ہے، قدیم کتاب سے منقول پہیلی نہیں ¹۔ x اور x² مختلف قسمیں ہیں، انہیں یکساں سمجھ کر جمع نہیں کیا جاسکتا۔ رنگین تصویر جدید تدریسی مواد ہے، کرجی کا لکھا ہوا صفحہ نہیں ⁵۔

• ⁸ — عملیات، حدود، مؤرخین کی تعبیرات اور سموأل کی شہادت؛ اصل منقول مراجع الگ نہیں پڑھے گئے۔
• ² — زندگی، نسبتیں، سرپرستی، تصانیف اور باقی ہندسی براهین۔
• ⁴ — نام زد مسلم شناخت، تمام تاریخوں یا دعووں کی منظوری نہیں۔
• ³ — واقعی پڑھا تاریخی دیباچہ، مکمل اصل متن نہیں۔
• ⁶ — مصور، اجازت اور جدید تصویر کا سیاق۔