بیرونی کا فرقوں کی تصحیح سے استیفا

جدول میں جس قدر کی الگ سطر نہیں، اسے کیسے تلاش کریں؟ دو سطروں کے اضافے کو برابر حصوں میں بانٹ دینا ہمیشہ کافی نہیں، کیونکہ اضافے خود بدل سکتے ہیں۔ بیرونی القانون المسعودی میں یہی مسئلہ اٹھاتے، پھر حساب کی تصحیح سمجھاتے ہیں ²۔ یہ صفحہ جدول استعمال کرنے کی ایک مخصوص بہتری کا ہے، جیب، سارے استیفا یا ہر بعد کے تربيعی فارمولے کی ایجاد کا نہیں۔ پہلے ہندوستانی طریقے اس تاریخ کا حصہ ہیں ³۔ یہاں شہادت متن اور تقریبی حساب ہے، کوئی باقی مشین یا ہر نتیجے کی زیادہ صحت ثابت کرنے والا تجربہ نہیں۔

معلوم قدروں کے درمیان کی قدر کا اندازہ استیفا ہے۔ محقق بیرونی کے کام کے لیے استکمال کا لفظ استعمال کرتے ہیں؛ پڑھے اصل متن میں جیب اور قوس نکالنے کے معروف اور مدقق طریقے الگ ہیں ⁴۔ سیدھی تلاش قوس سے جیب، الٹی تلاش قدر سے قوس مانگتی ہے۔ مصنف ہر جدول کے کام کو جیب نکالنا کہنے سے بھی احتیاط کرتے ہیں، اگر مطلوب کوئی اور مقدار ہو ⁵۔

بہتری میں ایک اور فرق زیر نظر آتا ہے: صرف پڑوسی سطروں کا فرق نہیں، اس فرق کا پچھلے فرق سے اختلاف بھی۔ یہی پورا طریقہ اس اندراج کی اکائی ہے؛ کالم، تفریق اور ہر ضرب کو الگ ایجاد نہیں گنا گیا۔ غیر خطی کہنے سے بھی دو مختلف حساب خود بخود ایک نہیں ہو جاتے۔

میئرنگ بیرونی سے پہلے برہماگپت اور بعد کے ہندوستانی حساب میں دوسرے درجے کے طریقے بیان کرتے اور انہیں فلکی جدولوں کی زیادہ طویل تاریخ میں رکھتے ہیں ³۔ راشد کا خلاصہ سموأل کے ہاں زیر مطالعہ اقتباس کے ذریعے بیرونی کو معلوم چار طریقے بتاتا ہے، جن میں دو ہندوستانی ہیں ⁶۔ خلاصہ پڑھنا اس کے اصل مخطوطے یا پورے مضمون کے تمام ریاضیاتی دلائل پڑھنا نہیں۔

میوزیم کے بتانی کے جدولی طریقوں والے الگ صفحے میں سیدھا اور الٹا خطی استیفا شامل ہے ⁷۔ نیا اندراج اس کا بدلا نام نہیں۔ پہلے طریقے کا وجود ہر اگلا قاعدہ اس کی نقل نہیں بناتا، لیکن کسی بعد کی بہتری کے لیے پہلے کام کو مٹانا بھی درست تاریخی بیان نہیں۔

سوال ہدایات سے پہلے آتا ہے۔ قطر کے عدد کے باب میں بیرونی بڑے جیب کو ایک رکھنے کی وجہ بار بار ضرب اور تقسیم کی بچت بتاتے، پھر ہندسے سے دکھاتے ہیں کہ جیبوں کے فرق قوسوں کے فرق کے ساتھ مستقل تناسب میں نہیں بدلتے ⁸۔ وہ چھوٹے وقفوں کی حسابی محنت کا ذکر اور جیب کے جدول میں ربع درجے کے وقفے کی وضاحت بھی کرتے ہیں ⁹۔

بہت سے اعشاری ہندسے ان کے استعمال کا مناسب طریقہ نہیں بدل دیتے۔ تاریخ یہاں گیارہویں صدی کا وسیع دستاویزی سیاق ہے، جس میں میئرنگ القانون کو رکھتے ہیں، ایجاد کا معلوم دن یا جدید مطبوعے کا سال نہیں ¹⁰۔ اندازے سے نکلی ہجری تاریخ کو اصل تاریخی خبر بنا کر نہیں بھرا گیا۔

نسبت بیرونی کی لکھی تشریح پر ہے، صرف ان کی شہرت پر نہیں۔ ان کا کردار مخصوص جدولی عمل میں بہتری کا ہے، پہلے اہل حساب اپنی جگہ موجود ہیں ^{1 3}۔ اصل مصنف، جدید محقق، راشد، میئرنگ اور جدید مصور الگ افراد اور کردار ہیں۔ صفحے پر ان کا کام جمع ہونے سے یہ سب ایک تاریخی ہاتھ نہیں بن جاتے۔

Sunni (اہلِ سنت) سیاق: بریٹانیکا اور تومر انفرادی مسلم شناخت کا ماخذ ہیں، مگر ذاتی مسلکی نسبت مختلف فیہ ہے۔ سوانح میں تومر کی تعبیر معلن سنی سیاق میں ہے ^{11 12}۔

منقول شیعی اور زیدی نسبتیں: شخصی اندراج دونوں تومر کے ذریعے محفوظ کرتا ہے، میوزیم کے قطعی فیصلے کے طور پر نہیں ¹²۔ نام، سرپرست کا مسلک یا مسح رکھنے والی ویب سائٹ فرد کے بارے میں شہادت کا بدل نہیں۔

قاری مطلوب سے چھوٹی قوس والی سطر لیتا، اس کی قدر اور بچی قوس محفوظ کرتا ہے۔ مصنف پھر معروف تصحیح کو اس تدقیق سے الگ کرتے ہیں جس میں سامنے کا فرق اور اس سے پچھلا فرق لیا جاتا ہے ¹³۔ حساب میں استعمال ہونے والا اضافہ پورے وقفے میں ایک مقرر مقدار نہیں رہتا۔ متن اس بتدریج تبدیلی کی ہندسی وجہ بھی دیتا ہے ¹⁴۔ مدقق نام سے نتیجہ بے خطا یا بالکل صحیح نہیں ہو جاتا۔

بڑھتی قدروں کے لیے جدید علامتوں میں ابتدائی قدر y0، پچھلا اور اگلا اضافہ Dprev اور Dnext، اور جدولی وقفے کا طے شدہ حصہ t لیں۔ ہدایت یوں کھلتی ہے: y0+t*((1-t)*Dprev+t*Dnext) ¹⁵۔ یہ ہماری تدریسی علامتیں ہیں، مصنف کی تحریر یا وہ عام نیوٹنی قاعدہ نہیں جو لازماً تینوں نقطوں سے گزرتا ہے۔ بچے حصے سے دو مرتبہ ضرب کی وجہ سے تعلق غیر خطی بنتا ہے۔

ایک بنائے ہوئے تدریسی جدول میں مواضع−1،0،1 پر قدریں1،2،2.5 رکھیں۔ پچھلا اضافہ1 اور اگلا0.5 ہے۔ اگلے وقفے کے آدھے مقام پر اس طریقے کا جواب2.375 اور خطی استیفا کا2.25 ہے۔ صرف ان قدروں سے ہمیں اصل درمیانی قدر معلوم نہیں ہوتی۔ یہ القانون کے عددی اعداد یا ہر حالت میں برتری کا ثبوت نہیں، ہدایات میں تبدیلی سمجھانے کا نمونہ ہے۔

اکائی بھی ضروری ہے۔ اصل ہدایت کی چار منٹ مقدار ستینی عدد1/15 ہے، ربع درجے کے پندرہ قوسی منٹ پر تقسیم کی جگہ آتی ہے؛ یہ چار درجے کا نیا زاویہ نہیں ¹⁴۔ الٹی تلاش کی اپنی ہدایات ہیں؛ کسی تقریب کا الٹ حقیقی تابع کا عین الٹ لازماً نہیں ¹⁶۔

جیب سے قوس کی واپسی الگ توجہ چاہتی ہے: مصنف قریب ترین چھوٹا جیب لے کر اس کی قوس محفوظ کرتے، پھر جیب کی باقی مقدار اور فرقوں سے قوس کا اضافہ نکالتے ہیں ¹⁷۔ کالموں کے نام بدل کر ہر عمل وہی رکھنا کافی نہیں، کیونکہ معلوم مقدار اور مطلوب باقی حصہ بدل چکے ہیں۔ پچھلا فرق بھی صرف اس لیے صفر نہیں کہ قاری کی دکھائی کھڑکی اسی سطر سے شروع ہے۔ ہدایت کو خاص پڑوسی کی اطلاع چاہیے۔ نمائش کی حد تاریخی جدول کا سرا نہیں؛ گم شدہ سرے کا قاعدہ یا خاموش متبادل قدر نہیں گھڑی گئی۔ یہ ہدایات کی ضرورت سمجھانا ہے، مصنف سے منسوب نیا سافٹ ویئر نہیں۔

راشد کا خلاصہ بتاتا ہے کہ سموأل نے بیرونی کی عبارت نقل کی، خطی و غیر خطی طریقے اور ان کے نتائج پرکھے اور بہتری کی کوشش کی ⁶۔ یہ بعد کی قرأت اور بحث کا خاص شاہد ہے، تمام ملکوں میں منتقلی کا مکمل نقشہ نہیں۔ اس اندراج کے لیے پورا مضمون یا مخطوطہ نہیں پڑھا، اس لیے خلاصے کے پیچھے سے ناسخوں یا مدرسوں کی تاریخیں نہیں گھڑی گئیں۔

میئرنگ عربی اور فارسی ماخذ میں استیفا اور ممکنہ ہندوستانی اثر بتاتے ہیں، ہر فارمولے کی خود کار یکسانیت نہیں ¹⁰۔ پھیلاؤ کی فہرست میں بے ماخذ پڑاؤ نہیں۔ ممکنہ اثر اور گراف میں مستند انحصار الگ ہیں؛ خوب صورت مگر غیر ثابت تیروں کے بجائے یہ فرق محفوظ رکھنا زیادہ مفید ہے۔

قوس اور جیب کی معرفت، دائرے کی تقسیم، جدول، ستینی حساب اور سطروں کے فرق اس کام کے اجزا ہیں۔ مصنف ایک کے انتخاب کو سمجھاتے اور ساٹھ والے نصف قطر سے تقابل کرتے ہیں ¹⁸۔ اس انتخاب سے وہ کسروں یا ہر نسبت کے موجد نہیں بن جاتے۔

پہلا ہندوستانی کام حقیقی تاریخی حصہ ہے، محض پس منظر کی آرائش نہیں۔ تاہم جدید ماخذ ہر خاص ہدایت کے لیے کسی نام زد استاد اور شاگرد کا یقینی سلسلہ نہیں دیتے ^{3 6}۔ پہلے فنی سلسلے کا وجود اور معلوم نسخے کا معلوم قاری تک پہنچنا الگ شہادتیں ہیں۔ پہلی خود بخود دوسری نہیں، اور دونوں اصل زیر نمائش حساب کو پڑھے بغیر فیصلہ کرنے کی اجازت نہیں دیتیں۔

جیب اور ظل کے بعد مصنف مدقق عمل کو تمام جدولوں کے لیے عام کرتے ہیں: قدر محفوظ کریں، پڑوسی قدریں لیں، بدلتے فرقوں سے پچھلا فرق درست کریں اور پھر کسر کا حصہ حساب کریں ¹⁹۔ یہ کتاب کے اندر مثلثی مثال سے زیادہ وسیع ہدایت کی طرف قدم ہے، ہر ممکن بنائے ہوئے اعداد میں یقینی کامیابی کی ضمانت نہیں۔

بعد میں سموأل کے تقابل کی خبر راشد کے خلاصے کے حوالے سے ہے اور اسی کی نسبت سے رہتی ہے ⁶۔ یہاں سے ہر جدید کمپیوٹر پروگرام یا مصنوعی سیارے تک سیدھی لکیر نہیں کھینچی گئی۔ جدید علامتوں کی مشابہت نیوٹن تک تاریخی راستہ ثابت نہیں کرتی۔ دو حسابوں کا ریاضیاتی تعلق اور مصنفوں کے درمیان متن کی منتقلی کی شہادت الگ سوال ہیں؛ تدریسی سلسلہ ان کو ایک نہیں کرتا۔

براہ راست ثابت فائدہ جدول کے اس صارف کا ہے جو غیر درج زاویے کی قدر یا کسی قدر کی قوس نکالے، اور یہ سمجھے کہ ایک تناسب ہمیشہ کیوں کافی نہیں ²⁰۔ پڑھے مقامات اس خاص تدقیق سے فائدہ اٹھانے والے گھروں، مسجدوں یا سفر کا شمار نہیں دیتے۔ بچی رقم، وقت یا تمام پرانے جدولوں کی جگہ لینے کے اعداد نہیں بنائے گئے۔

ایک اہم فرق واضح ہوتا ہے: جدول کی قدریں بہت احتیاط سے حساب کی جا سکتی ہیں، مگر اس کی سطروں کے درمیان کام کرتے وقت تقریب پھر داخل ہوتی ہے۔ کسی کتاب کو دقیق کہنے سے ہر اگلا عمل اکائی اور مفروضے کے سوال سے مستثنیٰ نہیں ہو جاتا۔ یہاں عملی فائدہ مستند حسابی مقصد ہے، استعمال کا جدید سماجی سروے نہیں۔

اس شاہد کی اہمیت حسابی مفروضے کو نقد اور دلیل کا موضوع بنانے میں ہے۔ بیرونی صرف ہدایت نہیں دیتے، غیر مساوی فرقوں کی وجہ بھی سمجھاتے ہیں ²¹۔ اس کام کو پہچاننے کے لیے ریاضی کی پوری تاریخ ایک تنہا ہیرو کی کہانی بنانا ضروری نہیں۔

میئرنگ ہندوستانی و چینی کام اور عربی و فارسی ماخذ کو بعد کی یورپی پیش رفت سے پہلے رکھتے ہیں ³۔ صرف زمانی ترتیب ہر مصنف اور اس کے بعد والے کا رابطہ ثابت نہیں کرتی۔ ہدایتی الفاظ دوبارہ پڑھنے سے یہ بھی بچتا ہے کہ فرق استعمال کرنے والے دو الگ طریقوں میں مانوس جدید فارمولا دوسرے پر چڑھا دیا جائے۔ یہ تاریخی اور تدریسی فائدہ ہے، اس کے نتائج کا گھڑا ہوا عددی پیمانہ نہیں۔

معلن سنی سیاق میں متن: بیرونی کی نسبت یہاں خاص پڑھی ہوئی تشریح کی ہے؛ ان کی سوانح میں محفوظ مختلف فیہ انفرادی نسبت اپنی جگہ ہے۔ حساب کو مسلکی شہادت نہیں بنایا گیا ^{22 12}۔ انہیں دنیا کا پہلا دوسرے درجے کا استیفا نہیں دیا گیا۔

علمی قرأت: میئرنگ پہلے ہندوستانی طریقے مستند کرتے اور راشد کا خلاصہ بیرونی کے چار طریقے، ہندوستانی حصہ اور سموأل کے تقابل بیان کرتا ہے ^{3 6}۔ مطبوعے کی تمہید میں نیوٹن اور گریگوری سے تقابل محقق کی منسوب تعبیر ہے، عین ایک جیسے فارمولوں یا ان تک براہ راست انتقال کا فیصلہ نہیں ²³۔ سبقت، کئی طریقوں کی موجودگی اور اس خاص عمل کی تفصیل الگ سوال رہنے چاہییں۔

زائر دوربین یا سافٹ ویئر کے بغیر کاغذ پر دو تقریبیں دیکھ سکتا ہے۔ t=0 پر یہ تحریری صورت ابتدائی قدر رکھتی اور t=1 پر اگلی قدر تک پہنچتی ہے۔ دونوں اضافے برابر ہوں تو خطی حساب بنتا ہے۔ یہ تدریسی عبارت کے جبری نتائج ہیں، بیرونی کی کارگاہ میں ہمارے سامنے کیا ہوا تجربہ نہیں ¹⁹۔

دونوں سروں پر اتفاق درمیان کا علم یا ہر تابع میں زیادہ صحت یقینی نہیں کرتا۔ ہدایت سمجھنا اور تحقیق سے غیر ثابت عددی ضمانت دینا الگ باتیں ہیں۔ بہت سے ہندسوں پر حیران ہونے سے پہلے خطا، وقفے کی حد اور مفروضہ پوچھا جا سکتا ہے۔ یہ تاریخی بیان ایسے سفر یا وقت کے حساب کی سفارش نہیں جن کے لیے الگ تصدیق ضروری ہو۔

عربی کے منتخب مقامات پڑھے اور مسح301،322،323،340 کی تصاویر دیکھیں؛ ان پر مطبوعہ نمبر300،321،322،339 ہیں۔ نئی حوالہ دہی مسح کے نمبر سے ہے، مطبوعہ ایک کم ہے ²⁴۔ یہ مخطوطوں کا تقابل یا پوری کتاب کے تمام جدولوں کی قرأت نہیں، جن کا استخراج کئی جگہ بگڑا ہے۔

نمائشی تصویر دابلر کی7 مارچ2010 کی جدید تخلیق ہے، جسے صاف طور پر عوامی ملکیت کیا گیا؛960×720 صورت دیکھی گئی ²⁵۔ تین نمونوں سے گزرتا قطع مکافی، بلند ترین مقام اور نیچے فرق یا ڈھلوان کا خانہ ہے۔ یہ مفہومی تقابل ہے، اس خاص قاعدے کے عین اوزان یا بیرونی کے جدید مشتق بنانے کی شہادت نہیں ²⁶۔ مسح، متن کا استخراج اور اصل فائلیں مخزن سے باہر ہیں۔

یہ مقام ہندسی زبان اور حساب کرنے والے کی ہدایات جمع کرتا ہے۔ مصنف قوس اور اس کے متمم کے مختصر نام اشتباہ سے بچانے کے لیے چنتے اور باریک جدول کی محنت بتاتے ہیں ²⁷۔ اس سے کتاب میں عملی علم کی پیش کش معلوم ہوتی ہے، یہ نہیں کہ ہر تاریخی قاری نے یکساں سمجھا یا استعمال کیا۔

جدید تصویر میں نیلا، سرخ اور چھپے محوری نشان ایک بہت بعد کی تدریسی زبان ہیں؛ انہیں مخطوطے کی طرف منسوب نہیں کیا گیا ²⁸۔ دونوں کو ساتھ رکھنا تب مفید ہے جب ان کا فاصلہ سمجھایا جائے۔ آج کے نقشے کی خوب صورتی کسی غیر جانچے تاریخی اصل یا ان علامتوں کا ثبوت نہیں بن سکتی جو پڑھی عبارت میں مصنف نے استعمال نہیں کیں۔

کاغذ پر مواضع−1،0،1 اور ان کے نیچے قدریں1،2،2.5 لکھیں۔ پہلا اضافہ1 اور اگلا0.5 ہے۔ درمیانی اور آخری مقام کے آدھے پر خطی اندازہ2.25 ہے۔ دونوں اضافے برابر ملائیں تو0.75، اس کا آدھا2 میں ملائیں تو2.375۔ کھیل کے یہ عدد ہدایت کی ترتیب دکھانے کے لیے ہم نے چنے ہیں، پرانے مشاہدے نہیں ¹⁹۔

نامعلوم درمیانی قدر چھپا کر رکھیں، کسی کو فاتح نہ کہیں؛ صرف کارڈ اس قدر کو نہیں بتاتے۔ برابر اضافے رکھ کر اتفاق دیکھیں۔ قلم اور کاغذ کافی ہیں؛ سورج کا مشاہدہ یا دوربین اس کی طرف نہ کریں۔ یہ نہیں پوچھیں کہ کون سا عدد اچھا لگتا ہے، بلکہ یہ کہ کس مفروضے سے اس تک پہنچے۔

• القانون المسعودی، جلد اوّل، منتخب مسح صفحات اور مذکورہ تصاویر؛ مطبوعہ نمبر ایک کم ہے۔
• میئرنگ، استیفا کی تاریخ،II.B–II.C، مصنف کی فراہم کردہ اصل تحریر۔
• راشد، سموأل، بیرونی اور برہماگپت، صرف ناشر کا خلاصہ، پورا مضمون نہیں۔
• بریٹانیکا اور تومر، انفرادی شناخت اور منقول مسلکی نسبتیں۔
• دابلر کا نقشہ اور حقوق، عوامی ملکیت کا جدید تقابل۔
• نالینو کی بتانی کی زیج، پہلے خطی اندراج سے امتیاز۔