بتانی کی زیج میں جیب کا جدولی حساب

محمد بن جابر بتانی اپنی زیج کے تیسرے باب میں دوہرے قوس کے نصف وتر کا جدول بنانا اور اسے دونوں رخوں سے استعمال کرنا بتاتے ہیں: قوس سے لمبائی، اور لمبائی سے قوس ¹۔ آج ان مقداروں کو جیب کہتے ہیں؛ یہ پہلے سے جاری روایت میں حسابی بہتری ہے، جیب یا پوری مثلثیات کی ایجاد نہیں ²۔ باب ہندسہ، جدول اور تقریب کو ملاتا ہے، صرف ایسے اعداد نہیں دیتا جن کے استعمال کی ہدایت نہ ہو ³۔

جدول ایک معلوم پیمانے کے دائرے میں قوس اور حساب شدہ لمبائی کا تعلق دیتا ہے؛ بتانی قطر120 اور نصف قطر60 لیتے ہیں ⁴۔ «دوہرے قوس کا نصف وتر» کا مطلب زاویہ دوگنا کر کے متعلقہ وتر کا آدھا لینا ہے، اصل زاویے کو آدھا کرنا نہیں ⁵۔ اس طرح جدول کا جیب صارف کے دیے ہوئے قوس سے براہ راست ملتا ہے، حساب میں ہر بار قوس دوگنا نہیں کرنا پڑتا ⁶۔

مصنف صاف کہتے ہیں کہ سہولتِ حساب کے لیے قطر120 رکھنے میں بطلیموس کی پیروی ہے؛ پیمانہ ورثے میں ملا ہے، ان کی ذاتی ایجاد نہیں ⁴۔ وہ اوتار کے ہندسے اور قائمہ مثلث کے تعلقات سے شروع کر کے تنصیف، جمع اور تفریق سے مزید قوسوں کے وتر نکالتے ہیں ⁷۔ اس سے ہر عمل کی اولین صورت اسی کتاب میں ہونا ثابت نہیں؛ یہاں موضوع ان کا عملی انتظام اور زیج میں جدول کا استعمال ہے ³۔

بتانی کا رصدی کام رقہ سے وابستہ تھا؛ ان کی زیج ستاون ابواب کی کتاب تھی، جیب کا الگ تھلگ ورق نہیں ^{8 9}۔ حسابی بنیادوں کے بعد جدول برتنے کے مزید ابواب آتے ہیں، اس لیے تیسرا باب ایک بڑے عملی وسیلے کا تعارف ہے ¹⁰۔

دیکھے گئے صفحات اس باب کی الگ سنِ تصنیف نہیں بتاتے؛ ستاروں کی فہرست کا عہد یا آغازِ رصد ایجاد کا دن نہیں بنتا ^{3 11}۔ اندراج کی کھلی حد ان کی وفات317ھ/929 پر ختم ہوتی ہے: یعنی ان کی زندگی کا کام، یہ دعویٰ نہیں کہ باب خاص929 ہی میں لکھا گیا ¹¹۔

بتانی کا درج کردار «بہتر بنانے والے» کا ہے: متن پہلے ہندسے پر حسابی انتخاب اور عملی ہدایات قائم کرتا ہے ²۔ یہاں ان کی مسلم شناخت کی بنیاد عربی میں دیکھا گیا مصنف کا مذہبی آغاز اور اسی پر نالینو کا واضح استدلال ہے، نام یا خاندانی نسبت نہیں ¹²۔ عباسی رقہ کے سیاق میں عجائب گھر کا سنی فریم الگ واضح ہے، اسے کسی ذاتی فقہی مسلک کا اقرار نہیں کہتے؛ ان کی سوانح نام زد تاریخی آرا محفوظ رکھتی ہے، صرف «الصابی» سے مذہب اخذ نہیں کرتی ^{11 13}۔

پیش کردہ قائمہ مثلث کی نسبت مستوی ہے؛ زیج کے کروی مسائل فلکی اطلاق ہیں، اسی تصویر کا مثلث نہیں ^{14 15}۔

فرضی عددی مثال جدول کے وقفے کی اہمیت بھی دکھاتی ہے:6/30اور6/60ایک نہیں، نصف درجے کے بجائے پورا درجہ لینے سے عددی اضافہ بدلتا ہے۔ الٹا20.4اکیلا کافی نہیں جب تک پاس کی سطریں اور ان کا فرق2معلوم نہ ہو؛ زیادتی باب کی تقسیم اور ضرب سے منٹ بنتی ہے، صرف نام بدلنے سے نہیں ¹⁶۔ یہ تعلیمی مثال کی مزید وضاحت ہے، مخطوط کے عدد نہیں۔

جدول کا آخری سرا پیمانہ دکھاتا ہے:90درجے پر دوگنے180درجے کے وتر کا نصف، قطر کا نصف یعنی60ہے۔30درجے پر60درجے کے وتر کا نصف30ہے، کیونکہ وتر نصف قطر کے برابر ہے ¹⁷۔ ان نقطوں کی ہندسی مساوات پاس کی سطروں کے استیفا سے مختلف ہے؛ جدول ہندسی نتیجے اور درمیانی تخمینے ساتھ رکھ سکتا ہے۔

میک ٹیوٹر قائم الزاویہ مثلث کی ایک نسبت البتانی سے منسوب کرتا ہے: b sin(A) = a sin(90 - A) ¹⁸۔ علامتیں جدید حوالے کی ہیں، عربی مخطوط کی نقل نہیں۔ زاویے کا جیب، متمم زاویے کا جیب اور دو ضلعوں کی لمبائی ملتی ہے، جبکہ نصف وتر کا جدول حساب کے عدد دیتا ہے؛ نظری نسبت اور عددی جدول الگ کام کرتے ہیں ^{18 19}۔

جدید وضاحتی مثال، مخطوط کی مسئلہ نہیں:45درجے کا جیب متمم کے جیب کے برابر ہے، تو مقابل ضلع برابر ہوتے ہیں۔30درجے کا متمم60ہے اور دونوں جیب مختلف؛ صرف قائم زاویہ ہونا دو ضلعوں کو برابر نہیں کرتا۔ نصف قطر60کے پیمانے پر لکھنے سے دونوں طرف60کا ایک ہی عامل آتا اور کٹ جاتا ہے، ضلعوں کی نسبت نہیں بدلتی ^{18 20}۔ یہ نسبت کا موجودہ حساب ہے، مصنف کے یہی مثالیں لینے کا دعویٰ نہیں۔

استیفا بھی واضح فرضی تعلیمی جدول سے سمجھ سکتے ہیں، زیج کے عدد نہیں:30منٹ کے فاصلے کی دو سطروں کی قیمتیں20اور22فرض کریں۔ زیریں سطر سے6منٹ اوپر وقفے کا پانچواں حصہ ہے، لہٰذا2کے اضافے کا پانچواں حصہ20میں ملائیں تو20.4ہوتا ہے۔ الٹا،0.4کا اضافہ سطروں کے فرق2سے تقسیم ہو کر وقفے کا پانچواں حصہ، یعنی6منٹ، دیتا ہے ¹⁶۔ حساب کا واپس چلنا اصل منحنی کے سیدھا ہونے کا ثبوت نہیں؛ یہ دو نقطوں کے درمیان متناسب قدم سمجھاتا ہے، تقریب کی کامل صحت نہیں ²¹۔

ٹی ڈی وی زیج کے دوسرے کام متعین کرتی ہے: ابواب33–48جدولوں کے استعمال، باب32تقاویم کی تبدیلی، اور باب28مشاہدے سے چار موسموں کی مدت کے ہیں ¹⁰۔ ہر جدولی عدد جیب اور ہر تاریخی فرق زاویہ نہیں؛ دالہ کا جدول وقت، رصد اور ہندسہ ملانے والے کام کا حصہ ہے ¹⁰۔

انسائیکلوپیڈیا ابواب5–26میں عمودی اسقاط کے اصولوں اور کروی مثلثیات کے جیبِ تمام قضیے پر مبنی خیالات بھی منسوب کرتی ہے ¹⁰۔ اس ثانوی بیان کو براہ راست پڑھے نصف وتر کے باب سے الگ رکھتے ہیں: کروی مثلث اور اسقاط، مستوی قائم مثلث کی عین شے نہیں؛ مشترک دوال سے ہر برہان باب3میں پڑھنا ثابت نہیں ^{10 19}۔

باب پہلے معلوم وتر بناتا ہے، مثلاً60 درجے کا وتر جو نصف قطر کے برابر ہے؛ قائمہ مثلث کے اضلاع کے مربعوں اور نصف دائرہ پورا کرنے والے قوسوں کے اوتار کا تعلق استعمال ہوتا ہے ⁷۔ پھر دوہرے قوس کے نصف وتر آتے ہیں، جن کا جدول ہر آدھے درجے پر90 درجے تک ہے ⁵۔ ایک درجے کے وتر کے لیے تقریب بھی تعمیر کا حصہ ہے؛ ہر مرحلے کو تقریب سے پاک مکمل درست قدر کہنا مناسب نہیں ²²۔

جدید توضیحی علامتوں میں، مخطوطے کی نقل کے طور پر نہیں، S(theta) = 60 sin(theta) ہے؛ پس30 اور90 درجوں کی قدریں30 اور60 ہیں،60 سے تقسیم کرنے سے پہلے0.5 اور1 نہیں ²³۔ پورا وتر اس کے آدھے زاویے کے جیب کو دوگنا کر کے ملتا ہے، پورے زاویے کے جیب کو دوگنا کرنے سے نہیں ²⁴۔

دو سطروں کے بیچ زاویے کے لیے متصل قدروں کا فرق لیں، نچلی سطر سے زائد زاویائی دقیقوں سے ضرب دیں،30 دقیقوں سے تقسیم کریں اور نچلی قدر میں جمع کریں ²⁵۔ یہ خطی استیفا ہے: اس سے اخذ کردہ تدریسی مثال میں30 درجے15 دقیقے،30 درجے اور30 درجے30 دقیقے کے عین درمیان ہیں، لہٰذا جدولی اضافے کا آدھا لیا جائے، دونوں سطروں کے تاریخی اعداد گھڑے بغیر ²⁶۔

الٹا طریقہ بھی موجود ہے: نچلی جدولی قدر تلاش کریں، زائد لمبائی کو متصل سطروں کے فرق کی نسبت سے دقیقوں میں بدلیں، پھر ابتدائی قوس میں جمع کریں ²⁴۔ نالینو اسے قوس نکالنا کہتے ہیں؛ ان کا حاشیہ واضح کرتا ہے کہ نصف وتر کی عبارتوں کے لیے لاطینی جیب اور جیبِ تمام کی اصطلاحیں انہوں نے چنی ہیں، اس لیے مترجم کے لاطینی لفظ کو اصل عربی عبارت نہ سمجھا جائے ²⁷۔

زیج لاطینی اور قشتالی قارئین تک پہنچی، اور سوانح بعد کے علمِ ہیئت میں کتاب کے اثر کا ذکر کرتی ہیں ^{10 28}۔ حساب اور جدولوں والی کتاب کا انتقال بذاتِ خود یہ ثابت نہیں کرتا کہ تیسرے باب کا ہر قدم ہر قاری تک بغیر تبدیلی پہنچا؛ اس لیے یہاں اسی عمل کی پوری دنیا میں تاریخ وار راہ نہیں کھینچی گئی ²⁸۔

شرح کی فوری بنیاد اوتار کا ہندسہ، قطر120 کی روایت اور قوس و لمبائی کی تعمیر کے عمل ہیں؛ جہاں مصنف خود بطلیموس کا حوالہ دیتے ہیں وہاں ان کا نام محفوظ ہے، اسے چھپایا نہیں گیا ²⁹۔ دوہرے قوس کے نصف وتر کی طرف جانا جدول کا حسابی مدخل بدلتا ہے، پہلے ہندسے کو مٹاتا یا دائرے کو نئی ایجاد نہیں بناتا ²²۔

اگلے چوتھے باب میں جیب اور اس سے قوس نکالنے کا عمل اسی نصف قطر کے ساتھ میل کے مسئلے میں آتا ہے؛ یہ کتاب کے اندر پہچانا جا سکنے والا استعمال ہے، محض جدید مشابہت نہیں ³⁰۔ کروی قانونِ جیب کو اس نتیجے میں خاموشی سے شامل نہیں کیا گیا؛ جدول اور اس کا استعمال مصنف سے منسوب ہر قضیے کے برابر نہیں، اس کے لیے الگ تحقیق درکار ہے ³¹۔

فوری فائدہ حساب کرنے والے کے کام میں ہے: غیر درج زاویہ اور الٹا سوال، ہر بار ہندسی شکل نئے سرے سے بنائے بغیر حل کیے جا سکتے ہیں ³²۔ پڑھے ہوئے صفحات بازار یا جہازرانی کے استعمال کنندگان کی گنتی نہیں دیتے؛ حسابی سہولت کو ہر گھر اور ہر جہاز کی بے سند داستان نہیں بنایا گیا ²⁶۔

میک ٹیوٹر بتانی کے مثلثی طریقوں کو فلکی حساب میں پیش رفت کہتی ہے؛ دیکھا ہوا باب اس عمومی بیان کے پیچھے کچھ عملی کام دکھاتا ہے ^{33 2}۔ مثال کی قدر لمبائیاں بنانے، منظم کرنے اور الگ سطر کے بغیر مقدار نکالنا سکھانے کے اجتماع میں ہے، تمام جدید رقمی حساب کے ایک ہی بانی کا اعلان کرنے میں نہیں ³۔

قابلِ جواب محدود سوال ہے: اس زیج میں یہ طریقہ کس نے سمجھایا؟ بتانی نے، پہلے ہندسے سے استفادے کا واضح اقرار رکھتے ہوئے ³۔ تمام تہذیبوں میں پہلا جیب، پہلا جدول اور پہلا استیفا الگ سوال ہیں؛ یہ صفحات یا کتاب پر عالم کا نام ان سب کا فیصلہ نہیں کرتے ²۔

قاری تاریخی نصف قطر60 کا، اکائی پر معمول بندی کے بعد، جدید پیمانے سے مقابلہ کر سکتا ہے؛ استیفا درمیانی قدروں کا تخمینہ ہے، ہر مدخل پر اصل تفاعل کی بالکل صحیح جگہ لینے والا عمل نہیں ²⁶۔ دکھائی گئی تصویر TheOtherJesse کا2007 میں ملکِ عام کیا ہوا جدید تدریسی قائمہ مثلث ہے، بتانی کا جدول نہیں؛ اس کے ضلعوں کے نام ایک مخصوص زاویے کے اعتبار سے ہیں ³⁴۔

دیکھا گیا متنی شاہد نالینو کا ایڈیشن ہے: عربی مطبوعہ13–17، مسح1139 سے الٹا1135 تک، اور لاطینی مطبوعہ9–11، مسح98–100 ہیں؛ بندھی ہوئی فائل میں عربی حصہ الٹی ترتیب سے ہے ¹۔ یہ شائع شدہ ایڈیشن کے متعین صفحات کی قرأت ہے، مخطوطے کا مادی معائنہ یا تمام جدول پڑھ لینے کا دعویٰ نہیں ³⁵۔

«البتانی» یا «Albaten(i)us» کی سوانح عربی کتاب کے دوسری زبانوں میں انتقال سے جڑی ہے؛ نام کی مختلف صورتیں ہر بعد کے طریقے کا سہرا انہیں دینے کا جواز نہیں ²⁸۔ عجائب گھر قدیم متن، مترجم کی منتخب لاطینی اصطلاح اور ساتھ دکھائے گئے جدید تدریسی خاکے میں فرق قائم رکھتا ہے ^{36 37}۔

سوچیے جدول ہر ممکن زاویہ نہیں چھاپ سکتا: آپ کا زاویہ دو سطروں کے بیچ ہو تو کیا کریں؟ بتانی فرق کا ایک حصہ لے کر تخمینہ اور پھر لمبائی سے زاویے کی الٹی تلاش سمجھاتے ہیں؛ سبق صرف لمبی عددی فہرست یاد کرنا نہیں، اسے پڑھنے کا طریقہ سیکھنا ہے ³²۔ دو سطروں کے نصف فاصلے سے شروع کیجیے؛ یاد رہے یہ حسابی تقریب ہے، اصل جسامت میں آسمان کا نقشہ نہیں ²⁶۔

• نالینو کا ایڈیشن و ترجمہ: باب3، عربی13–17/مسح1139–1135، لاطینی9–11/مسح98–100؛ آغازِ باب4 لاطینی12؛ عربی آغاز6/مسح1146 اور لاطینی شناختی دلیلXVI/مسح25 ³⁵۔
• فروح مفتی اوغلو، «BETTÂNλ، ٹی ڈی وی،6 (1992)،9–10 ³⁸۔
• اوکونر و رابرٹسن، میک ٹیوٹر، نومبر1999؛ ترجمے کی مختلف تاریخیں یا صرف نام پر مذہبی استدلال اختیار نہیں کیا ³⁹۔
• TheOtherJesse کے اصل محفوظ2007 مثلث کے کوائف و اجازت،2024 کی بدلی ہوئی تصویر نہیں ⁴⁰۔