بیرونی کا قانونِ استکمال

استکمال جدول میں دی گئی دو قیمتوں کے درمیان کسی تفاعل کی قیمت نکالنے کا طریقہ ہے؛ بیرونی نے القانون المسعودی کے تیسرے مقالے میں جیوب کی جدولوں کے استعمال کو بہتر بنانے کے لیے اس کی اپنی صورت وضع کی۔ ^{2 1}

محقق بتاتے ہیں کہ عام طریقہ یہ فرض کرتا تھا کہ ایک وقفے میں جیب کا اضافہ زاویے کے اضافے کے متناسب ہے؛ حالانکہ زاویے کے برابر وقفے جیوب کے برابر فرق نہیں دیتے، لہٰذا عام طریقہ غیر دقیق ہے۔ ¹

بیرونی نے دو راستے اختیار کیے۔ اول، وقفے چھوٹے کیے: پورے درجے کے بجائے ہر چوتھائی درجے کے لیے جیوب کی جدولیں بنائیں، اور کام کی طوالت نہ ہوتی تو ہر دقیقے کے لیے بنانا چاہتے تھے؛ محقق ان کی جدولوں کو ساتویں یا آٹھویں اعشاریہ تک درست بتاتے ہیں۔ ¹ دوم، استعمال کا طریقہ بہتر کیا: انہوں نے دیکھا کہ زاویے کی تبدیلی سے جیوب کے بجائے جیوب کے فرقوں میں بتدریج تبدیلی آتی ہے، اس لیے وقفے کے جزو اور وقفے کی نسبت کو مناسب فرق اور فرقوں کے فرق کی نسبت کے برابر رکھا، جس سے زیادہ دقیق قیمت حاصل ہوئی۔ ¹

محقق کے خیال میں بیرونی اس طرح استکمال کے ان قوانین کی سادہ صورت تک پہنچ گئے جو ان کے چھ سو سال بعد نیوٹن اور گریگوری سے منسوب ہوئے، اور ان کا زاویوں کے فرق ناپنے کا طریقہ اس طریقۂ تولید کی بنیاد تھا جو انہوں نے استعمال کیا۔ ^{3 2} وہ مزید بتاتے ہیں کہ بیرونی پہلے شخص تھے جنہوں نے جیوب کی جدولوں میں نصف قطر کو اکائی مانا، جس سے جدول کی لمبائیاں نسبتیں بن گئیں۔ ⁴