علم المساحة

مساحت سطحوں اور اجسام کی پیمائش کا علم ہے۔ خوارزمی نے اپنی کتاب الجبر والمقابلہ میں اس کے لیے ایک باب رکھا جو اس بات سے شروع ہوتا ہے کہ «ایک ضرب ایک» کا مطلب رقبہ ہے، یعنی ایک ذراع ضرب ایک ذراع۔ ¹ مقدمے میں وہ زمینوں کی پیمائش کو ان ضرورتوں میں گنتے ہیں جن کے لیے کتاب لکھی گئی۔ ²

• برابر اضلاع کا مربع جس کا ضلع دو ہو، ذراع ضرب ذراع والے رقبے کا چار گنا ہے، اور جس کا ضلع آدھا ذراع ہو وہ اس کا چوتھائی ہے۔ ³
• مثلث کا تکسیر (رقبہ) اس کا عمود ضرب نصف قاعدہ ہے، اور معین کا ایک قطر ضرب دوسرے کا نصف۔ ³
• دائرے کا دور (محیط) قطر ضرب تین اور ایک ساتواں ہے؛ اس کا رقبہ نصف قطر ضرب نصف محیط ہے، یا قطر کا مربع منفی اس کا ساتواں اور ساتویں کا نصف۔ ^{3 4}
• کمان نما قطعۂ دائرہ نصف دائرہ ہے اگر اس کا تیر (سہم) نصف وتر کے برابر ہو، اور کم یا زیادہ ہے اگر تیر کم یا زیادہ ہو؛ اس کے دائرے کا قطر نصف وتر کا مربع تقسیم تیر، جمع تیر ہے۔ ⁴
• مثلث تین قسم کے ہیں: قائمہ، حادہ اور منفرجہ؛ مختلف اضلاع (13، 14 اور 15 ذراع) والے حادہ مثلث میں عمود کا مسقط اور عمود جبر و مقابلہ سے نکالے جاتے ہیں، اور عمود بارہ اور رقبہ چوراسی نکلتا ہے۔ ^{5 6}
• نوکدار مخروط یا ہرم کا حجم اس کے قاعدے کا تہائی ضرب اس کی بلندی ہے؛ کٹے ہوئے کو نوک تک پورا کر کے بڑھایا ہوا حصہ گھٹا دیا جاتا ہے۔ ^{7 8}
• اس مثلث کے اندر مربع کا مسئلہ جس کے دو ضلعے دس دس ذراع اور قاعدہ بارہ ہے: مربع کا ضلع «شے» مانا جاتا ہے اور چار ذراع اور چار پانچویں ذراع نکلتا ہے۔ ^{8 9}

خوارزمی کہتے ہیں کہ محیط کو قطر کا تین اور ایک ساتواں گنا ماننا «لوگوں میں ایک اصطلاح ہے، کوئی لازمی بات نہیں»، اور اہلِ ہندسہ کے دو اور قول بیان کرتے ہیں: قطر کو اپنے آپ سے اور پھر دس سے ضرب دے کر جذر لو؛ اور اہلِ نجوم کا قاعدہ: قطر کو 62832 سے ضرب دے کر 20000 پر تقسیم کرو؛ وہ کہتے ہیں کہ یہ سب ایک دوسرے کے قریب ہیں۔ ⁴ قاہرہ ایڈیشن کے محققین تبصرہ کرتے ہیں کہ اہلِ نجوم کی قیمت حقیقت سے سب سے قریب اور دس کا جذر سب سے دور ہے، اور مخطوطے کا یہ حاشیہ نقل کرتے ہیں کہ یہ «تقریب ہے، تحقیق نہیں»، کیونکہ محیط سیدھا خط نہیں۔ ³ سات ذراع قطر والے دائرے کے مسئلے میں وہ محیط بائیس ذراع لیتے ہیں، جسے محققین تقریبی بتاتے ہیں۔ ⁷