الضروب الستة (أنواع المعادلات عند الخوارزمي)

چھ صورتیں (الضروب الستہ) وہ اقسام ہیں جن میں خوارزمی نے جبر و مقابلہ کے حساب کی ہر ضرورت کو تقسیم کیا، اپنی کتاب الجبر والمقابلہ کے آغاز میں۔ ¹ یہ تین قسم کے اعداد پر مبنی ہیں: جذر، یعنی ہر وہ چیز جو اپنے آپ سے ضرب دی جائے، ایک یا اس سے اوپر یا اس سے نیچے کسور میں سے؛ مال، یعنی جذر کو اپنے آپ سے ضرب دینے کا حاصل؛ اور مفرد عدد، یعنی ہر وہ عدد جو جذر یا مال کی نسبت کے بغیر بولا جائے۔ ²

• مال جذروں کے برابر: «ایک مال اپنے پانچ جذروں کے برابر ہے»، تو جذر پانچ اور مال پچیس۔ ²
• مال عدد کے برابر: «پانچ مال اسی کے برابر ہیں»، تو ایک مال اسی کا پانچواں حصہ یعنی سولہ ہے۔ ³
• جذر عدد کے برابر: «چار جذر بیس کے برابر ہیں»، تو جذر پانچ اور مال پچیس۔ ³

ہر صورت میں ایک سے زیادہ یا کم مال کو ایک مال کی طرف لوٹایا جاتا ہے، اور جو اس کے برابر ہو اس کے ساتھ بھی یہی کیا جاتا ہے۔ ²

• مال اور جذر عدد کے برابر: «ایک مال اور اس کے دس جذر انتالیس درہم کے برابر ہیں»؛ طریقہ یہ ہے کہ جذروں کو آدھا کرو، نصف کا مربع لو، اسے عدد پر بڑھاؤ، مجموعے کا جذر لو اور اس میں سے نصف جذر گھٹاؤ، تو جذر تین اور مال نو نکلتا ہے۔ ^{3 4}
• مال اور عدد جذروں کے برابر: «ایک مال اور اکیس اس کے دس جذروں کے برابر ہیں»، جس کے دو جواب ہیں: جذر تین اور مال نو، یا جذر سات اور مال انچاس؛ وہ کہتے ہیں کہ صرف یہی باب «زیادتی اور کمی دونوں سے» حل ہوتا ہے۔ ⁵ اگر نصف جذروں کا مربع عدد سے کم ہو تو مسئلہ «مستحیلہ» ہے، اور برابر ہو تو جذر نصف جذروں کے برابر ہے۔ ⁶
• جذر اور عدد مالوں کے برابر: «تین جذر اور چار ایک مال کے برابر ہیں»، تو جذر چار اور مال سولہ۔ ⁶

خوارزمی کہتے ہیں کہ پہلی تین صورتوں میں جذر آدھے نہیں کیے جاتے، اور باقی تین میں سے ہر ایک کے لیے انہوں نے «ایک صورت بنائی جس سے علت معلوم ہو»۔ ⁶ مال اور دس جذر کے مسئلے میں وہ مال کو نامعلوم ضلع والا مربع بناتے ہیں، دس جذروں کو چار مستطیلوں میں بانٹ کر اس کے اضلاع پر رکھتے ہیں، پھر چاروں کونوں کو چھوٹے مربعوں سے پورا کرتے ہیں جن کا مجموعہ پچیس ہے، تو بڑا مربع چونسٹھ اور اس کا ضلع آٹھ ہو جاتا ہے۔ ⁷ وہ زور دیتے ہیں کہ جبر و مقابلہ کا ہر عمل «تمہیں لازماً چھ ابواب میں سے کسی ایک تک لے جائے گا»۔ ⁸ پھر وہ «باب المسائل الست» میں ہر صورت کے لیے ایک نمونے کا مسئلہ رکھتے ہیں۔ ⁹

1939 کے قاہرہ ایڈیشن کے محققین یہ صورتیں جدید علامتوں میں لکھتے ہیں اور واضح کرتے ہیں کہ خوارزمی نے درجۂ دوم کی مساوات کو تین مرکب اقسام میں اس لیے بانٹا کہ ان کی بحث صرف مثبت اعداد تک محدود تھی۔ ^{1 3} ان کے بیان میں جذر سے خالی صورت کا نام «مستحیلہ» ریاضی دانوں میں اٹھارہویں صدی کے اواخر تک رہا، جب خیالی مقداروں کی تحقیق شروع ہوئی۔ ⁶