عد ابن منعم للتوافيق والتباديل

كم اختياراً مختلفاً يمكن تكوينه من ألوان محددة؟ وكم يتغير الجواب إذا صار ترتيب الألوان مهماً أو سمحنا بتكرارها؟ جعل ابن منعم العبدري مسائل من هذا النوع أدوات لعد الحروف والكلمات في القسم الحادي عشر من فقه الحساب. يصف أحمد جبار انتقالاً من أمثلة ملموسة إلى قواعد وجداول وتعليل، لا كتابة قائمة طويلة ثم عد سطورها ¹.

نسجل تطويراً منظماً في العد التوافقي، لا اختراع العد كله أو أول جدول مثلثي في العالم. يذكر جبار الخليل بن أحمد سلفاً لغوياً، والكرجي سلفاً في بناء الجدول جبرياً. الإسهام هنا تفسير عناصره عن طريق الاختيارات والتباديل وتوسيع مسائل التكرار، مع حدود للتجريد يصرح بها الدارس ².

التوافق اختيار عناصر دون اعتبار ترتيبها، والتبديل يعامل اختلاف المواقع بوصفه اختلافاً في النتيجة. أما السماح بتكرار العنصر فيغير مجموعة الحالات مرة أخرى. هذه تعريفات حديثة نشرح بها المسألة؛ ليست كل كلمات المؤلف مطابقة لاصطلاحات كتاب مدرسي اليوم. يميز تحليل جبار بين هذه الأنواع داخل مشروع لغوي، ويشرح أن الألوان نموذج للعد ².

وقد يعني «عد الكلمات» عد تراكيب وفق افتراضات للحروف وعلاماتها، لا حصر مفردات مستعملة ذات معنى. تقول دراسة الرابطة إن المثال يختار أبجدية وعدداً أقصى لطول الكلمة وحالات للضبط؛ هذه شروط نموذج، لا اكتشاف جميع الألفاظ التي نطق بها البشر. لا نخلط الإمكان الشكلي بالمعجم أو عدد اللغات أو عدد المتكلمين ³.

عمل اللغويين، وفي مقدمته عد الخليل بن أحمد، حاضر في وصف ابن منعم لمهمته كما ينقله جبار. كانت العلاقات بين الحروف وعدد أوضاعها طريقاً إلى أسئلة حسابية، لا مادة اخترعها رياضي بلا تراث لغوي. ويعرض المؤلف ما يضيفه على حساب لا يتكرر فيه الحرف، بدلاً من إعلان أن كل ما قبله خال من التنظيم ^{4 3}.

ومن جهة أخرى، سبق بناء الجدول الحسابي في عمل الكرجي الجبري. ذلك مختلف عن حسابه للمقادير الجبرية وعن معنى الجدول التوافقي هنا. لا نحسب الشكل نفسه مرتين تحت شعار «أول من اخترع مثلث باسكال»؛ بل نحدد نوع الاستدلال والاستعمال. وجود أعداد متماثلة لا يثبت أن المؤلفين فهموا جميع العلاقات نفسها أو قرؤوا النسخة نفسها ⁵.

تصف سيرة عبد العزيز النقر رجلاً من دانية بالأندلس استقر وعلم في مراكش بالقبة المنصورية. تاريخ انتقاله غير معلوم، والدعوة من الخليفة رأي منقول لبعض الباحثين. التقرير الأقدم لجبار لم يستطع تحديد مكان التأليف؛ لا نخفي الفرق بين ما عرفه ذلك التقرير وما أضافته السيرة الحديثة من مصدر ترجمي أقدم ^{6 7}.

يرجح جبار تأليف الكتاب بين1207 و1212 من سياق الإهداء ومدح الناصر، لا من خاتمة مؤرخة. نضع القرن الثالث عشر إطاراً عريضاً ونترك الترجيح باسمه. ويذكر تحليل القسم أن الجداول التطبيقية أضيفت بعد تداول نسخ بين الطلاب؛ فالنص مرتبط بتعليم وتجريب عرض، لا بومضة واحدة مكتملة نعرف يومها ⁸.

هو أبو جعفر أحمد بن إبراهيم بن علي بن منعم العبدري، لا محمد بن عيسى بن عبد المنعم المرتبط بصقلية. تحذر السيرة من الخلط بينهما، ولا نربط هذه الهوية بأشخاص آخرين لمجرد تشابه «عبد المنعم» أو مهنة الحساب. تسميه مقالة الرابطة عن الكتاب صراحة ضمن العلماء المسلمين؛ هذا أساس الهوية الفردية، لا الاسم أو موطنه ^{9 10}.

الإطار السني هنا قاعدة المتحف المعلنة، لا شهادة شخصية بأنه مالكي. وينقل جبار خطاب المقدمة في مدح ابن تومرت والحاكم الموحدي؛ نبقي ذلك خطاباً منسوباً ولا نصدقه باسم المتحف أو نستخرج منه وحده سيرة مذهبية كاملة. وتذكر السيرة التعليم عن أبيه والطب والتلاميذ، مع ندرة المعلومات؛ ليست لدينا تفاصيل لكل سنة من حياته ^{11 12}.

يعرض جبار مسألة عشر ألوان من الحرير نريد منها حزم لون واحد أو لونين حتى عشرة، مع عد الحزم لكل عدد من الألوان. في الصف الأول عشر حالات مفردة. ولتكوين الأزواج نثبت اللون المتأخر ونقرنه بكل لون قبله، حتى لا نكرر الزوج نفسه بعكس ترتيبه. شاهدنا الصفحة المطبوعة19 و20 من الدراسة؛ هذا عرض تحليلي حديث للمسألة لا ورقة مخطوط المؤلف ¹³.

بترميزنا الحديث، عدد الأزواج من عشرة هو 1+2+...+9=45، وعدد الثلاثيات C(10,3)=120. الرمز C(n,k) يعني اختيار k عناصر مختلفة من n دون ترتيب. نجمع الحالات وفق أكبر عنصر مختار، فنحول مشكلة كبيرة إلى مجموع مسائل أصغر. عدم إعادة عد المجموعة نفسها شرط صحة العملية، لا مجرد حيلة لتسريع الكتابة.

ولمثال أصغر من صنعنا، من خمس بطاقات مختلفة نختار اثنتين بعشر طرق. إذا ميزنا الأولى من الثانية صار العدد عشرين؛ لكل زوج موضعان. وإذا سمحنا بالتكرار في موضعين فالعدد خمسة وعشرون. أما الاختيار غير المرتب مع التكرار فخمسة عشر. اختلاف الأجوبة لا يعني خطأ الحساب؛ لقد اختلف السؤال الذي نحسبه.

يمكن شرح علاقة حديثة أخرى بتقسيم الاختيارات إلى قسمين: فيها البطاقة الأخيرة أو ليس فيها. عندئذ C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)، مع C(n,0)=1 وC(n,n)=1. الاختيار الخالي واحد في اصطلاحنا، وإن كانت مسألة الحزم تبدأ بلون واحد؛ فلا ننسب هذا الحد بصيغته إلى سطر لم نقرأه في الأصل.

تبني هذه العلاقة الصف 1,5,10,10,5,1 للخمس، والصف 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1 للعشر. مجموع الأخير1024، ومنه1023 اختياراً غير خال. هذه أعداد تحققنا منها حديثاً بتعداد مستقل وبالعلاقة؛ ليست صورة الجدول الأصلي ولا برهاناً أن المؤلف ربط كل عنصر بمعامل ذي الحدين.

والتكرار يحتاج حذراً آخر. الأحرفA وA وB تنتج ثلاث سلاسل مختلفة، لا ستاً: تبادل نسختيA لا يخلق كتابة جديدة. وتضاف في المشروع اللغوي علامات الضبط وقيود النطق؛ لا يكفي ضرب كل نتيجة بأربعة لكل حرف إذا منع النموذج حالات معينة. يشرح جبار التكرار والتدرج والجداول، لا معجماً آلياً يعرف المعنى ¹⁴.

يذكر النقر استعمال فقه الحساب عند ابن البنا وابن هيدور وابن زكريا الغرناطي، وينقل عن ابن خلدون مكانته في مصادر رفع الحجاب. هذه أخبار استقبال من الدراسات المقروءة، لا قراءة منا لجميع النصوص اللاحقة أو إحصاء لعدد النسخ. ويفرق جبار بين بقاء نتائج في التعليم وبين إثبات اعتراف صريح بالاستدلال التوافقي أداة مستقلة ^{15 16}.

ولا يرسم تشابه الجدول طريقاً مباشراً إلى باسكال أو مرسين. يقارن جبار بعض الإجراءات بأعمال لاحقة، لكن المقارنة ليست سند انتقال بعينه. الصورة الحديثة تستعمل اسماً شائعاً للجدول؛ لا يجعل الاسم مؤلفها مصدراً لتاريخ ابن منعم، ولا يحسم أولوية عالمية أو سرقة فكرية. نحتاج لكل طريق وثيقة تخصه.

يذكر عرض الكتاب الأصول لإقليدس وفصلاً من الاستكمال للمؤتمن ضمن مقدمات القراءة، كما يذكر التحليل والتركيب في تبرير المسائل. لا نستنتج أن كل برهان توافقي نسخة من برهان هندسي. يرى جبار في القسم نوعاً من الاستدلال الاستقرائي والتوافقي يعمل بجانب أدوات العرض المعلنة، وهذه قراءة تحليلية ننسبها إليه ^{17 16}.

الألوان والحروف نماذج مختلفة تشترك في قواعد عد محددة. يجوز نقل عدد الاختيارات عندما نحافظ على شروط التميز والترتيب والتكرار، لا لأن اللون والحرف شيء واحد في الواقع. ويشير جبار إلى أن هذه المرحلة تقترح طريقاً إلى تجريد أوسع دون أن تقدم بعد نموذجاً واحداً معلناً يعيد كل مسائل العد إلى بنية عامة واحدة ¹⁸.

العلاقة بالمؤلفين المغاربة اللاحقين مذكورة في السير، لكننا لا نضع كل حاسوب أو برنامج لغة تابعاً مباشراً لهذه الرسالة. يمكن مقارنة العد الحديث بها تعليمياً دون اختراع سلسلة نسب. وقائمة التوابع الخالية تعني أن علاقات اختراعات محددة لم توثق هنا، لا أن الكتاب بلا أثر أو أن تلاميذه لم ينتفعوا به ¹⁹.

وينبه جبار إلى أمر مهم: وجود الجدول لا يثبت تعرف المؤلف إلى مطابقته معاملات التوسع الجبري. بل يستشكل الدارس عدم استعمال ذلك الربط في قسم استخراج الجذور. لا نكمل للقدماء نتيجة لم يظهروها لأننا نراها سهلة اليوم. الاستنتاج الرياضي الممكن والسجل التاريخي لما قاله شخص مسألتان مختلفتان ⁵.

ألوان الحرير تجعل الاختيار مرئياً، لكنها ليست دليلاً أن مصنعاً طبق جدولاً محدداً أو أن المؤلف اخترع النسيج. تعمل الحزم في التحليل نموذجاً مجرداً لتفادي اعتبار الترتيب. يمكن أن يفهم القارئ المسألة ببطاقات ورقية دون لمس خيوط تاريخية أو صنع منتج. لا نملك قياساً لكمية تجارة أو وقت وفرته هذه القواعد ²⁰.

وتتيح الحياة التعليمية قصة أوضح من ادعاء اقتصادي غير موثق: يذكر النص إضافة أمثلة وجداول بعد وصول الكتاب إلى الطلاب. شرح القاعدة وتوسيع الأمثلة استجابة لحاجة تعليمية كما يقرأها جبار. هذا لا يثبت مدرسة بمناهج حديثة أو امتحانات موحدة أو عدد حضور بعينه، لكنه يحفظ المتعلم في القصة بدلاً من جعلها سيرة بطل وحيد ²¹.

أهمية العمل في تنظيم مسائل وتعليلها وتجاوز خصوصية مثال واحد، لا في رقم ضخم يزعم عد جميع لغات العالم. يبرز جبار أن المجال اللغوي يفتح نتائج أوسع منه، مع حدود التجريد القائم حينذاك. نسميه تطوراً منهجياً محدداً، دون نقل أوصاف التفوق العامة في مقالة تعريفية إلى حكم المتحف على جميع الحضارات ¹.

وتاريخ دراسته يبين تغير المعرفة: تقرير سابق استخرج قرائن من الإهداء، ثم قدمت مقالة أحدث أخباراً من ترجمة قديمة. الدليل الجديد يوسع الصورة ولا يجعل ما عرفه الباحث أول مرة كذباً. لذلك نفرق بين المؤلف والناسخ والمحقق والمؤرخ، ونقول بوضوح أي طبقة قرأناها. لا نضع اكتشاف مخطوط حديثاً في تاريخ اختراع القاعدة.

نسبة هذا التطوير لابن منعم تستند إلى القسم الموصوف في فقه الحساب. الخليل حاضر بوصفه سلفاً في العد اللغوي، والكرجي في الجدول الجبري. عبارة جبار عن أقدم بناء توافقي يعرفه تبقى مقيدة بمعرفته وبنوع البناء، لا أول مثلث حسابي في التاريخ. لا نرفع كلمة «تحسين» إلى أصل مطلق لجعل عنوان جذاب أكثر ⁵.

ويظل الرياضي مختلفاً عن سميه الصقلي وعن أصحاب أسماء قريبة في قاعدة المتحف. دقة الهوية تمنع نقل تواريخ أو مؤلفات أو ديانة من شخص لآخر. وتاريخ1207–1212 ترجيح للتأليف؛ سنة1551 تاريخ نسخ منقول عن مقالة أخرى؛ وسنة2005 طبعة حديثة. لا يمكن استبدال واحد من هذه التواريخ بالآخر دون تغيير معنى الادعاء ^{22 23}.

تختبر برامج اليوم الأعداد بالتعداد الصغير ثم بالعلاقات، لكن هذا أسلوب تحقق حديث نقدمه نحن، لا برنامج ابن منعم. الفحص المستقل مفيد: إذا حسبنا الأزواج مرتبة ثم قسمنا على اثنين في حالة عنصرين مختلفين، نتوقع10 من خمس. أماA وA فليستا زوجاً مختلف العنصرين؛ نقل القسمة إلى حالة أخرى دون تعديل يحطم الفرض.

رسم Rohieb المؤرخ2016 يضم ثمانية صفوف من صفر إلى سبعة، أطلقه صاحبه برخصةCC0. أرقامه وترتيبه المثلثي حديثان؛ ليس صفحة من فقه الحساب أو صورة الحرير. الصف الأخير فيه1،7،21،35،35،21،7،1. يستطيع الزائر قراءة العلاقات في النص، ولا يحتاج أن يستخرجها من الصورة وحدها ²⁴.

تصف مقالة الرابطة نسخة ضمن المجموع416، صفحات214–419، منسوخة بتونس على يد حسن الربعي في958هـ/1551، وعثور إدريس لمرابط عليها سنة1981 ثم تحقيقه المنشور سنة2005. ننقل الوصف من المقالة، لا من معاينة المخطوط أو الطبعة. وعبارة النسخة الوحيدة في سياق التحقيق ليست مسحاً حالياً لجميع خزائن العالم ²³.

قرأنا أجزاء محددة من دراسة جبار وشاهدنا صفحتيها19 و20، لا جميع131صفحة أو متنها العربي المصور. كما أن الرموز الحديثة في عمل المحقق ليست حروف المخطوط بالضرورة. يتيح فصل هذه الطبقات للقارئ تقييم ما تثبته الصورة وما يثبته تحليل ثانوي وما لا نعرفه، دون تقديم ملف التحميل بوصفه ترخيصاً لنقل الكتاب إلى المستودع.

تجمع القصة اللغة والتعليم والحساب، ومعها سيرة طبيب ومعلم. ينقل النقر عن مصدر أقدم حكاية استحضار ابن منعم مسائل إقليدس قبل النوم من الآخر إلى الأول؛ نعرضها حكاية منقولة، لا طقساً شهدناه أو اختباراً لذكائه. والمدح الطبي في السيرة ليس وصفة علاج أو برهان فعالية حديثاً ²⁵.

واسم فقه الحساب يدل هنا على معرفة الحساب في سياق الكتاب، لا تحويل كل نتيجة إلى فتوى. كما أن مدح الحاكم في مقدمة الإهداء خطاب تاريخي له غرضه. نستطيع حفظه منسوباً دون تكرار أحكامه على خصومه في صوت المتحف أو مساواة رعاية السياسة بصحة البرهان الرياضي ²⁶.

خذ خمس بطاقات عليها رموز مختلفة، لا ألواناً وحدها حتى يشارك من يصعب عليه تمييز اللون. ضع كل زوج في قائمة مرة واحدة. إذا بدلت اليمين باليسار، هل تريد عده جديداً؟ اكتب القاعدة قبل العد. هذا النشاط يعرض الفرق بين الاختيار والترتيب، لا يحتاج خيوطاً أو أدوات أو مقتنيات أصلية.

ثم اسمح باستعمال الرمز مرتين، واسأل لماذا تغير العدد. يمكن للبالغ مقارنة القائمة بالصف الحسابي الصغير، مع القول إنه رسم حديث لا خط ابن منعم. الغرض تعلم السؤال المحدد: ما الذي يعد متشابهاً، وما الذي يعد مختلفاً؟ العدد الصحيح جواب لشروط واضحة، لا زينة طويلة تحفظ بلا فهم.

• ²⁷
• ²⁸
• ²⁹
• ³⁰